Matematyka.pl

Witam,
mam taki przykład \(\displaystyle{ 2^n>n^2+n-1}\) i mam do niego nawet rozwiązanie problem w tym, że nie rozumiem rozwiązania
Oto rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (k+1)^2+k+1-1=k^2+2k+1+k=}\)

\(\displaystyle{ =k^2+k-1+2k+2<k^2+k-1+k^2+k-1=}\)

\(\displaystyle{ =2(k^2+k-1)<2 \cdot 2^k=}\)

\(\displaystyle{ =2^{k+1}}\)

W drugiej linijce jest \(\displaystyle{ k^2+k-1+2k+2}\) uzyskaliśmy to przez dodanie zera (+1-1) w \(\displaystyle{ k^2+2k+1+k}\) i dlaczego zrobiła się tutaj taka nierówność \(\displaystyle{ =k^2+k-1+2k+2<k^2+k-1+k^2+k-1=}\) ? Bardzo bym prosił o wytłumaczenie.

Po prostu wstyd.
Rogal

Dlatego żeby moc skorzystać z założenia indukcyjnego.

Grimmo pisze:dlaczego zrobiła się tutaj taka nierówność \(\displaystyle{ =k^2+k-1+2k+2<k^2+k-1+k^2+k-1=}\) ? Bardzo bym prosił o wytłumaczenie.

Dla k>2 prawdziwa jest nierówność

\(\displaystyle{ 2k+2<k^2+k-1}\) reszta jest taka sama po obu stronach. A taka postać umożliwia zastosowania zał. ind.