Podzielność przez 6.

[picioski]

Witam. Mam pewien przykład do wykonania i niewiem jak się za to zabrać.

oto treść: Wykazać za pomocą indukcji matematycznej, czy liczba:

\(\displaystyle{ n ^{3} + 5n}\) jest podzielna przez 6.

Sprawdzam warunek początkowy dla n=1 i dalej juz nieiwem jak się za to zabrać. Proszę o pomoc. Pozdrawiam

[aga92]

Sprawdzasz teraz, czy dla liczby o \(\displaystyle{ 1}\) większej ta liczba jest dalej podzielna przez 6.

Dla \(\displaystyle{ n+1}\):

\(\displaystyle{ (n+1)^{3} +5 (n+1) = n^{3} + 3n^{2} + 3n + 1 + 5n + 5 = (n^{3} + 5n) + (3n^{2} + 3n) + 6}\) (*)

\(\displaystyle{ n^{3} + 5n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\) z założenia

\(\displaystyle{ 3n^{2} + 3n = 3n(n+1)}\) więc jest też podzielne przez 6.

Zatem (*) jest podzielna przez 6.

[picioski]

Dla \(\displaystyle{ n+1}\):

\(\displaystyle{ (n+1)^{3} +5 (n+1) = n^{3} + 3n^{2} + 3n + 1 + 5n + 5 = (n^{3} + 5) + (3n^{2} + 3n) + 6}\) (*)

Hmm tak analizuje to zadanie i zastanawiam się co się stało z \(\displaystyle{ 5n}\)? Nie powinno być na końcu \(\displaystyle{ (n^{3} + 5n) + (3n^{2} + 3n) + 6}\) ?? Tak tylko się zastanawiam:)

[tkrass]

\(\displaystyle{ n^{3}+5n=6k}\)
\(\displaystyle{ n^{3}=6k-5n}\)
\(\displaystyle{ (n+1)^{3} + 5(n+1) = n^{3}+3n^{2}+8n+9=6k +3n^{2}+3n+6=6(k+1) +3n(n+1)=6(k+1) +3 2l=6(k+l+1)}\)
po drodze skorzystałem, że \(\displaystyle{ n(n+1)=2l}\) gdzie l całkowite dla każdego n naturalnego.

[picioski]

A mógłbyś mi wytłumaczyć o co chodzi z tym \(\displaystyle{ n(n+1)= 2l}\) ?:)

[tkrass]

\(\displaystyle{ n(n+1)}\) to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych. jak łatwo zauważyć dokładnie jedna z dwóch kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 2. w takim razie ten iloczyn możemy zapisać jako \(\displaystyle{ 2l}\) gdzie l jest jakąś nieznaną liczbą naturalną.