\(\displaystyle{ 2^{n+1} > n^{2}+3n+1}\)
\(\displaystyle{ 2^{n} > n^{2}+3n-1}\)
Mozna to jakos dalej obliczyc? Prosze o porade.. Nie chodzi mi o wynik, ale o sposob
2^n+1 > n^2 + 3n +1
-
półpasiec
- Gość Specjalny
- Posty: 534
- Rejestracja: 8 lip 2004, o 17:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 17 razy
2^n+1 > n^2 + 3n +1
musze cie zmartwic ale w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) nie ma okreslonego porzadku
Ostatnio zmieniony 11 maja 2006, o 00:00 przez półpasiec, łącznie zmieniany 1 raz.
-
polan123
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 4 lut 2006, o 23:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Polski
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 2 razy
2^n+1 > n^2 + 3n +1
\(\displaystyle{ n\geq5}\)
Calosc brzmi:
Korzystajac z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, ze kazda liczba naturalna \(\displaystyle{ n\geq5}\) spelnia nierownosc \(\displaystyle{ 2^{n}>n^{2}+n-1}\)
Calosc brzmi:
Korzystajac z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, ze kazda liczba naturalna \(\displaystyle{ n\geq5}\) spelnia nierownosc \(\displaystyle{ 2^{n}>n^{2}+n-1}\)
-
mu
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 29 kwie 2006, o 17:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: ZEA
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 26 razy
2^n+1 > n^2 + 3n +1
Musisz więc zrobić tak:
1) Dla \(\displaystyle{ n=5}\) mamy \(\displaystyle{ 32 \geq 29}\), czyli prawda.
2) Zakładamy, że \(\displaystyle{ 2^n \geq n^2+n-1}\), a chcemy pokazać \(\displaystyle{ 2^{n+1} \geq (n+1)^2+(n+1)-1=n^2+3n+1}\).
Pomnóż lewą stronę pierwszej nierówności przez \(\displaystyle{ 2}\) i wtedy dostajemy
\(\displaystyle{ 2^{n+1} \geq 2n^2+2n-2}\). Pozostaje więc wykazać, iż \(\displaystyle{ 2n^2+2n-2 \geq n^2+3n+1}\), co jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ n^2 \geq n+3}\). Tę ostatnią nierówność można pokazać opierając się na własnościach funkcji kwadratowej(licząc wyróżnik itd.). Tak więc na mocy zasady indukcji matematycznej jest to prawda.
Idź już lepiej spać, skoro jutro piszesz maturę
1) Dla \(\displaystyle{ n=5}\) mamy \(\displaystyle{ 32 \geq 29}\), czyli prawda.
2) Zakładamy, że \(\displaystyle{ 2^n \geq n^2+n-1}\), a chcemy pokazać \(\displaystyle{ 2^{n+1} \geq (n+1)^2+(n+1)-1=n^2+3n+1}\).
Pomnóż lewą stronę pierwszej nierówności przez \(\displaystyle{ 2}\) i wtedy dostajemy
\(\displaystyle{ 2^{n+1} \geq 2n^2+2n-2}\). Pozostaje więc wykazać, iż \(\displaystyle{ 2n^2+2n-2 \geq n^2+3n+1}\), co jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ n^2 \geq n+3}\). Tę ostatnią nierówność można pokazać opierając się na własnościach funkcji kwadratowej(licząc wyróżnik itd.). Tak więc na mocy zasady indukcji matematycznej jest to prawda.
Idź już lepiej spać, skoro jutro piszesz maturę