Indukcja matematyczna w nierówności
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 5 razy
Indukcja matematyczna w nierówności
Witam
Mam problem z dowodem indukcji matematycznej w nierównościach. Jakoś zwykłe nierówności są łatwe dla mnie ale nierówności są troszeczkę dziwne
Weźmy za przykład
\(\displaystyle{ 2n+1<2^n}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\)
To okej krok 1: Sprawdzamy dla n=3
\(\displaystyle{ 7=2\cdot 3+1<2^3=8}\) (też sprawdziłem dla \(\displaystyle{ n=4}\), że zachodzi)
To dobrze pierwszy krok indukcyjny sprawdziliśmy i zachodzi. Piszemy założenia, że np dla \(\displaystyle{ 2k+1<2^k}\), \(\displaystyle{ k \ge 3}\) zachodzi i piszemy tezę, że: \(\displaystyle{ 2(k+1)+1< 2^{k+1} }\)
I tutaj rozpoczynają się schody czego nie rozumiem. Wymnażamy i wychodzi:
\(\displaystyle{ 2k+1+2<2\cdot 2^k}\) Po lewej stronie widać \(\displaystyle{ 2k+1}\) czyli fragment z założenia pierwszego (ale to niestety nic nam nie daje, gdyby byłaby równość to można byłoby podstawić z pierwszego równania co tam wyjdzie...) i tutaj jest coś czego nie rozumiem ale widzę, że ludzie tak robią: Bierzemy nasze założenie \(\displaystyle{ 2k+1<2^k}\) i pomnażamy przez 2 strony i wychodzi \(\displaystyle{ 4k+2<2\cdot 2^k}\) i uzyskujemy efekt, że po prawej stronie jest to samo co w naszej tezie czyli \(\displaystyle{ 2\cdot 2^k}\) i teraz robi się porównanie, że
\(\displaystyle{ 4k+2>2(k+1)+1}\)
\(\displaystyle{ 4k+2>2k+1+2}\)
\(\displaystyle{ 4k+2>2k+3}\)
\(\displaystyle{ 2k>1}\) co jest prawdą dla \(\displaystyle{ k \ge 3}\)
I tutaj mam dwa pytania: 1. Czy prawidłowo to zrobiłem? 2. Dlaczego porównujemy \(\displaystyle{ 4k+2>2(k+1)+1}\)? Gdzie nam zniknęło \(\displaystyle{ 2^{k+1}}\) w dalszej części dowodu?
Mam problem z dowodem indukcji matematycznej w nierównościach. Jakoś zwykłe nierówności są łatwe dla mnie ale nierówności są troszeczkę dziwne
Weźmy za przykład
\(\displaystyle{ 2n+1<2^n}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\)
To okej krok 1: Sprawdzamy dla n=3
\(\displaystyle{ 7=2\cdot 3+1<2^3=8}\) (też sprawdziłem dla \(\displaystyle{ n=4}\), że zachodzi)
To dobrze pierwszy krok indukcyjny sprawdziliśmy i zachodzi. Piszemy założenia, że np dla \(\displaystyle{ 2k+1<2^k}\), \(\displaystyle{ k \ge 3}\) zachodzi i piszemy tezę, że: \(\displaystyle{ 2(k+1)+1< 2^{k+1} }\)
I tutaj rozpoczynają się schody czego nie rozumiem. Wymnażamy i wychodzi:
\(\displaystyle{ 2k+1+2<2\cdot 2^k}\) Po lewej stronie widać \(\displaystyle{ 2k+1}\) czyli fragment z założenia pierwszego (ale to niestety nic nam nie daje, gdyby byłaby równość to można byłoby podstawić z pierwszego równania co tam wyjdzie...) i tutaj jest coś czego nie rozumiem ale widzę, że ludzie tak robią: Bierzemy nasze założenie \(\displaystyle{ 2k+1<2^k}\) i pomnażamy przez 2 strony i wychodzi \(\displaystyle{ 4k+2<2\cdot 2^k}\) i uzyskujemy efekt, że po prawej stronie jest to samo co w naszej tezie czyli \(\displaystyle{ 2\cdot 2^k}\) i teraz robi się porównanie, że
\(\displaystyle{ 4k+2>2(k+1)+1}\)
\(\displaystyle{ 4k+2>2k+1+2}\)
\(\displaystyle{ 4k+2>2k+3}\)
\(\displaystyle{ 2k>1}\) co jest prawdą dla \(\displaystyle{ k \ge 3}\)
I tutaj mam dwa pytania: 1. Czy prawidłowo to zrobiłem? 2. Dlaczego porównujemy \(\displaystyle{ 4k+2>2(k+1)+1}\)? Gdzie nam zniknęło \(\displaystyle{ 2^{k+1}}\) w dalszej części dowodu?
Ostatnio zmieniony 3 gru 2021, o 19:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Indukcja matematyczna w nierówności
Powinieneś napisać dokładniej: ustalasz dowolne \(\displaystyle{ k\ge 3}\), takie że zachodzi i chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ 2(k+1)+1< 2^{k+1} }\).
Takie przekształcanie tezy to nie jest dobry pomysł. Żeby dowód tego typu był poprawny, to wszystkie przejścia muszą być równoważne, co powinno być wyraźnie w dowodzie zaznaczone.smp pisze: ↑3 gru 2021, o 19:30I tutaj rozpoczynają się schody czego nie rozumiem. Wymnażamy i wychodzi:
\(\displaystyle{ 2k+1+2<2\cdot 2^k}\) Po lewej stronie widać \(\displaystyle{ 2k+1}\) czyli fragment z założenia pierwszego (ale to niestety nic nam nie daje, gdyby byłaby równość to można byłoby podstawić z pierwszego równania co tam wyjdzie...)
To jest lepsze, ale dość niestarannie zapisane i niewystarczająco skomentowane.smp pisze: ↑3 gru 2021, o 19:30 i tutaj jest coś czego nie rozumiem ale widzę, że ludzie tak robią: Bierzemy nasze założenie \(\displaystyle{ 2k+1<2^k}\) i pomnażamy przez 2 strony i wychodzi \(\displaystyle{ 4k+2<2\cdot 2^k}\) i uzyskujemy efekt, że po prawej stronie jest to samo co w naszej tezie czyli \(\displaystyle{ 2\cdot 2^k}\) i teraz robi się porównanie, że
\(\displaystyle{ 4k+2>2(k+1)+1}\)
\(\displaystyle{ 4k+2>2k+1+2}\)
\(\displaystyle{ 4k+2>2k+3}\)
\(\displaystyle{ 2k>1}\) co jest prawdą dla \(\displaystyle{ k \ge 3}\)
Sytuacja jest dość prosta: wiesz, że dla ustalonego przez Ciebie \(\displaystyle{ k}\) mamy \(\displaystyle{ 2k+1<2^k}\), a chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ 2k+3< 2^{k+1} }\). Musisz zastanowić się, jak rozsądnie wykorzystać założenie i po to jest to wymnożenie przez \(\displaystyle{ 2}\). Ja wolałbym jednak, by było to zapisane tak:
\(\displaystyle{ P=2^{k+1}=2\cdot 2^k\,\red{>}\,2\cdot(2k+1)=4k+2=2k+3+2k-1\,\blue{>}\,2k+3=L}\)
gdzie czerwona nierówność jest wynikiem zastosowania założenia indukcyjnego, zaś niebieska nierówność wynika z faktu, że dla \(\displaystyle{ k\ge 3}\) zachodzi \(\displaystyle{ 2k-1>0}\) (i ten komentarz należy dodać do rachunków).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 5 razy
Re: Indukcja matematyczna w nierówności
Dobrze to jeszcze jeden przykład tutaj chce zaprezentować (czy dobrze robię): \(\displaystyle{ n^2< 3^{n-1} }\)
No to przeprowadzam dowód indukcyjny według schematu.
Krok 1: sprawdzam od którego n należącego do liczb naturalnych zachodzi nierówność - tutaj zachodzi ona dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) i dla n=4 wychodzi \(\displaystyle{ 16<27}\)
Krok 2: Piszemy założenie, ze k należy do liczb naturalnych oraz \(\displaystyle{ k \ge 4}\) oraz mamy \(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1} }\).
Teza: chcemy udowodnić, że dla k należącego do liczb naturalnych oraz \(\displaystyle{ k \ge 4}\) zachodzi: \(\displaystyle{ (k+1)^2< 3^{(k+1)-1} }\)
No to rozpisuje tezę, że:
\(\displaystyle{ (k+1)^2< 3^{(k+1)-1} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ k^2+2k+1< 3^k }\)
Teraz biorę założenie \(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1}}\) i mnożę je obustronnie przez 3 aby po prawej stronie osiągnąć \(\displaystyle{ 3^k}\) jak w tezie
\(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1} }\)
\(\displaystyle{ 3 \cdot k^2<3 \cdot 3^{k-1} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 3k^2<3^{k}}\)
I to rozumiem, że mogę tak samo zapisać jako dwie nierówności w jednej lini czyli:
\(\displaystyle{ 3^{k}>3k^2>(k+1)^2}\)
I wtedy jako rozwinięcie dowodu wystarczy, że zajmę się tylko tą nierównością \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) ? (bo z tym \(\displaystyle{ 3^k}\) chyba nic nie mogę obliczyć)
Bo jeśli tak, to z \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) wychodzi finalnie \(\displaystyle{ 2k^2-2k-1>0 }\), \(\displaystyle{ Δ = 16}\) a \(\displaystyle{ \sqrt{Δ} = 4}\)
Wtedy otrzymujemy: \(\displaystyle{ k_{1}= - \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ k _{2}= \frac{3}{2} }\) a jako, że w założeniu mamy, że \(\displaystyle{ k \ge 4}\) to mamy, że nierówność \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) jest dodatnia dla \(\displaystyle{ k \ge 4}\) - co jest końcem dowodu indukcyjnego?
Oczywiście ostatni krok to napisanie konkluzję, że na mocy zasady indukcji matematyczne nierówność \(\displaystyle{ n^2< 3^{n-1} }\) jest zawsze prawdziwa i zachodzi ona dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\)
No to przeprowadzam dowód indukcyjny według schematu.
Krok 1: sprawdzam od którego n należącego do liczb naturalnych zachodzi nierówność - tutaj zachodzi ona dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) i dla n=4 wychodzi \(\displaystyle{ 16<27}\)
Krok 2: Piszemy założenie, ze k należy do liczb naturalnych oraz \(\displaystyle{ k \ge 4}\) oraz mamy \(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1} }\).
Teza: chcemy udowodnić, że dla k należącego do liczb naturalnych oraz \(\displaystyle{ k \ge 4}\) zachodzi: \(\displaystyle{ (k+1)^2< 3^{(k+1)-1} }\)
No to rozpisuje tezę, że:
\(\displaystyle{ (k+1)^2< 3^{(k+1)-1} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ k^2+2k+1< 3^k }\)
Teraz biorę założenie \(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1}}\) i mnożę je obustronnie przez 3 aby po prawej stronie osiągnąć \(\displaystyle{ 3^k}\) jak w tezie
\(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1} }\)
\(\displaystyle{ 3 \cdot k^2<3 \cdot 3^{k-1} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 3k^2<3^{k}}\)
I to rozumiem, że mogę tak samo zapisać jako dwie nierówności w jednej lini czyli:
\(\displaystyle{ 3^{k}>3k^2>(k+1)^2}\)
I wtedy jako rozwinięcie dowodu wystarczy, że zajmę się tylko tą nierównością \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) ? (bo z tym \(\displaystyle{ 3^k}\) chyba nic nie mogę obliczyć)
Bo jeśli tak, to z \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) wychodzi finalnie \(\displaystyle{ 2k^2-2k-1>0 }\), \(\displaystyle{ Δ = 16}\) a \(\displaystyle{ \sqrt{Δ} = 4}\)
Wtedy otrzymujemy: \(\displaystyle{ k_{1}= - \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ k _{2}= \frac{3}{2} }\) a jako, że w założeniu mamy, że \(\displaystyle{ k \ge 4}\) to mamy, że nierówność \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) jest dodatnia dla \(\displaystyle{ k \ge 4}\) - co jest końcem dowodu indukcyjnego?
Oczywiście ostatni krok to napisanie konkluzję, że na mocy zasady indukcji matematyczne nierówność \(\displaystyle{ n^2< 3^{n-1} }\) jest zawsze prawdziwa i zachodzi ona dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\)
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Indukcja matematyczna w nierówności
Dobrze byłoby napisać, że ustalasz takie \(\displaystyle{ k}\), żeby nie było wrażenia, iż zakładasz tę nierówność dla wszystkich \(\displaystyle{ k}\)...smp pisze: ↑4 gru 2021, o 19:23Krok 2: Piszemy założenie, ze k należy do liczb naturalnych oraz \(\displaystyle{ k \ge 4}\) oraz mamy \(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1} }\).
Teza: chcemy udowodnić, że dla k należącego do liczb naturalnych oraz \(\displaystyle{ k \ge 4}\) zachodzi: \(\displaystyle{ (k+1)^2< 3^{(k+1)-1} }\)
Technicznie tak, ale jako dowód bez stosownego komentarza wygląda to słabo. Wypadałoby przynajmniej napisać, żesmp pisze: ↑4 gru 2021, o 19:23No to rozpisuje tezę, że:
\(\displaystyle{ (k+1)^2< 3^{(k+1)-1} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ k^2+2k+1< 3^k }\)
Teraz biorę założenie \(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1}}\) i mnożę je obustronnie przez 3 aby po prawej stronie osiągnąć \(\displaystyle{ 3^k}\) jak w tezie
\(\displaystyle{ k^2< 3^{k-1} }\)
\(\displaystyle{ 3 \cdot k^2<3 \cdot 3^{k-1} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 3k^2<3^{k}}\)
I to rozumiem, że mogę tak samo zapisać jako dwie nierówności w jednej lini czyli:
\(\displaystyle{ 3^{k}>3k^2>(k+1)^2}\)
I wtedy jako rozwinięcie dowodu wystarczy, że zajmę się tylko tą nierównością \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) ? (bo z tym \(\displaystyle{ 3^k}\) chyba nic nie mogę obliczyć)
"Z założenia indukcyjnego wnioskujemy, że \(\displaystyle{ 3^{k}>3k^2}\), więc by dowieść prawdziwości tezy wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ 3k^2\ge (k+1)^2.}\)"
Rachunkowo mniej więcej tak, ale wygląda to słabo (i co to znaczy, że "nierówność jest dodatnia"?). Nie można po prostu napisać, że nierówność \(\displaystyle{ 2k^2-2k-1>0 }\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ k\in \RR\setminus \left[ -\frac12,\frac32\right] }\), więc w szczególności zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych \(\displaystyle{ k\ge 4}\), czyli także dla naszego ustalonego \(\displaystyle{ k}\) ?smp pisze: ↑4 gru 2021, o 19:23Bo jeśli tak, to z \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) wychodzi finalnie \(\displaystyle{ 2k^2-2k-1>0 }\), \(\displaystyle{ Δ = 16}\) a \(\displaystyle{ \sqrt{Δ} = 4}\)
Wtedy otrzymujemy: \(\displaystyle{ k_{1}= - \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ k _{2}= \frac{3}{2} }\) a jako, że w założeniu mamy, że \(\displaystyle{ k \ge 4}\) to mamy, że nierówność \(\displaystyle{ 3k^2>(k+1)^2}\) jest dodatnia dla \(\displaystyle{ k \ge 4}\)
Skoro dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\), to nie zawsze...
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 5 razy
Re: Indukcja matematyczna w nierówności
Dzięki za odpowiedź. Czyli teraz w przypadku tym jedynym błędem moim jest błędny opis po prostu słowny/komentarz (ale już obliczeniowo jest okej?).
Do tego mam pytanie, czy zawsze jakby zmiękczamy znak nierówności, że występuje wtedy znak większy(mniejszy) bądź równy? I co w sytuacji, jeżeli w nierówności którą udowadniamy indukcyjnie jest znak miękki - to wtedy w przypadku pisania tej drugiej nierówności stosujemy już ostry znak nierówności?
Fakt może nie potrzebny komentarz - miałem tu na myśli gdy narysujemy wykres tej nierówności kwadratowej to w przedziałach od \(\displaystyle{ \infty }\) do \(\displaystyle{ -\frac{1}{2} }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) do \(\displaystyle{ \infty }\) przyjmuje dodatnią wartość.
Fakt zły zapis - powinno być, że dla każdego n należącego liczb naturalnych (i tutaj napisać z przypisem 4 lub dopisać, że dla n należącego do liczb naturalnych i większych, równych 4)
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Indukcja matematyczna w nierówności
Zasadniczo tak. Pamietaj jednak, że to dowód, więc warto zadbać o zrozumiały i poprawny opis rozumowania.
Tutaj to akurat nie ma znaczenia, ale zauważ, że wnioskując z założenia indukcyjnego dostałeś już ostrą nierówność, więc ta druga nierówność nie musi być ostra, żeby całość byłą ostra (tu akurat obie będą ostre).
Jeżeli dowodzisz nierówności słabej, to zapewne wszystkie nierówności w dowodzie będą słabe.
Pamiętaj, że to "oficjalny" dowód, a nie tłumaczenie koledze na korytarzu, dlatego warto zadbać o lepszą formę.smp pisze: ↑4 gru 2021, o 20:00 Fakt może nie potrzebny komentarz - miałem tu na myśli gdy narysujemy wykres tej nierówności kwadratowej to w przedziałach od \(\displaystyle{ \infty }\) do \(\displaystyle{ -\frac{1}{2} }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) do \(\displaystyle{ \infty }\) przyjmuje dodatnią wartość.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 5 razy
Re: Indukcja matematyczna w nierówności
Super dziękuję za pomoc już rozumiem jak robić indukcję matematyczną w nierówności. Tylko ostatnie pytanie mam co do jednej nierówności
\(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n < n^2+n-2}\)
Tutaj nie opiszę tego krok po kroku zadania w pełni z opisem bo chce sobie zrobić na kartce na spokojnie tylko mam problem z krokiem drugim bo dla \(\displaystyle{ n+1}\) mamy:
\(\displaystyle{ (n+1)^2\cdot 2^{n+1} < (n+1)^2+n+1-2}\)
I teraz mam pytanie przez co pomnożyć założenie \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n < n^2+n-2}\) aby uzyskać po lewej stronie to samo co w tezie czyli \(\displaystyle{ (n+1)^2\cdot 2^{n+1}}\)? Bo w przypadku gdy w nierówności jest jedna liczba po jednej ze stron nierówności to jest wtedy łatwo po wtedy mnożymy lewą i prawą stronę przez daną liczbę która daje nam taki sam wynik co w tezie w drugim kroku.
\(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n < n^2+n-2}\)
Tutaj nie opiszę tego krok po kroku zadania w pełni z opisem bo chce sobie zrobić na kartce na spokojnie tylko mam problem z krokiem drugim bo dla \(\displaystyle{ n+1}\) mamy:
\(\displaystyle{ (n+1)^2\cdot 2^{n+1} < (n+1)^2+n+1-2}\)
I teraz mam pytanie przez co pomnożyć założenie \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n < n^2+n-2}\) aby uzyskać po lewej stronie to samo co w tezie czyli \(\displaystyle{ (n+1)^2\cdot 2^{n+1}}\)? Bo w przypadku gdy w nierówności jest jedna liczba po jednej ze stron nierówności to jest wtedy łatwo po wtedy mnożymy lewą i prawą stronę przez daną liczbę która daje nam taki sam wynik co w tezie w drugim kroku.
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Indukcja matematyczna w nierówności
Coś nie tak, ta nierówność jest zawsze nieprawdziwa. Nie miało być \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \,\red{>}\, n^2+n-2}\) ?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 5 razy
Re: Indukcja matematyczna w nierówności
Tzn faktycznie będzie \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\) bo dostaliśmy informację, że ta nierówność posiada zbiór pusty więc trzeba zrobić negację kwantyfikatora dla każdego n istnieje \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n < n^2+n-2}\) na kwantyfikator istnieje x \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\) no i na tej nierówności będziemy działać.Jan Kraszewski pisze: ↑5 gru 2021, o 13:26Coś nie tak, ta nierówność jest zawsze nieprawdziwa. Nie miało być \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \,\red{>}\, n^2+n-2}\) ?
JK
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Indukcja matematyczna w nierówności
Zapewniam Cię, że nierówność nie może "posiadać zbioru pustego"... Co najwyżej zbiór rozwiązań naturalnych tej nierówności może być pusty.
A to już brzmi magicznie. W jakim celu "trzeba zrobić negację kwantyfikatora"? I co to znaczy "na tej nierówności będziemy działać"?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 5 razy
Re: Indukcja matematyczna w nierówności
Tak racja, zbiór rozwiązań naturalnych tej nierówności będzie pustyJan Kraszewski pisze: ↑5 gru 2021, o 15:59Zapewniam Cię, że nierówność nie może "posiadać zbioru pustego"... Co najwyżej zbiór rozwiązań naturalnych tej nierówności może być pusty.
Tutaj byłem uczony, że wtedy robimy tak:Jan Kraszewski pisze: ↑5 gru 2021, o 15:59A to już brzmi magicznie. W jakim celu "trzeba zrobić negację kwantyfikatora"? I co to znaczy "na tej nierówności będziemy działać"?
\(\displaystyle{ \neg(\forall x\in \NN, (n^2\cdot 2^n \, < n^2+n-2)) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \exists x\in \NN,( n^2 \cdot 2^n \, \ge n^2+n-2)}\)
No i dowód indukcji matematycznej robimy na nierówności \(\displaystyle{ n^2 \cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\)
Ostatnio zmieniony 5 gru 2021, o 16:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Indukcja matematyczna w nierówności
No to jest bzdura.smp pisze: ↑5 gru 2021, o 16:12Tutaj byłem uczony, że wtedy robimy tak:
\(\displaystyle{ \neg(\forall x\in \NN, (n^2\cdot 2^n \, < n^2+n-2)) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \exists x\in \NN,( n^2 \cdot 2^n \, \ge n^2+n-2)}\)
No i dowód indukcji matematycznej robimy na nierówności \(\displaystyle{ n^2 \cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\)
Oczywiście prawdą jest, że \(\displaystyle{ \neg(\forall x\in \NN)n^2\cdot 2^n \, < n^2+n-2 \Leftrightarrow (\exists x\in \NN) n^2 \cdot 2^n \ge n^2+n-2,}\) tylko że to nie ma żadnego związku z indukcją. Zdanie \(\displaystyle{ (\exists x\in \NN) n^2 \cdot 2^n \ge n^2+n-2}\) mówi, że istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), dla której zachodzi nierówność \(\displaystyle{ n^2 \cdot 2^n \ge n^2+n-2}\) i dowód tego jest bardzo prosty: dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ 1^2\cdot 2^1=2\ge 0=1^2+1-2}\) i już.
Indukcyjnie można dowodzić prawdziwość zdania \(\displaystyle{ (\forall x\in \NN) n^2 \cdot 2^n \ge n^2+n-2}\), które - nawiasem mówiąc - jest równoważne zdaniu \(\displaystyle{ \neg(\exists x\in \NN)n^2\cdot 2^n \, < n^2+n-2}\), które mówi, że zbiór rozwiązań naturalnych nierówności \(\displaystyle{ n^2\cdot 2^n \, < n^2+n-2}\) jest pusty. Natomiast nie rozumiem sensu tego podejścia - nie można od razu powiedzieć, że chcemy pokazać prawdziwość nierówności \(\displaystyle{ n^2 \cdot 2^n \ge n^2+n-2}\) dla wszystkich liczb naturalnych?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 5 razy
Re: Indukcja matematyczna w nierówności
Na to pytanie niestety nie odpowiem ci, takie po prostu mam przykład w zadaniu i dostałem podpowiedź, że zbiór rozwiązań tej nierówności będzie pusty - też miałem przykład właśnie jak krok po kroku robić.. Ale to możemy zostawić na inny tor (może takiego przykładu nie będę miał, gdzie będzie sytuacja, że zbiór rozwiązań naturalnych nierówności będzie pusty.) to jak zająć się taką nierównością?smp pisze: ↑5 gru 2021, o 16:12Tak racja, zbiór rozwiązań naturalnych tej nierówności będzie pustyJan Kraszewski pisze: ↑5 gru 2021, o 15:59Zapewniam Cię, że nierówność nie może "posiadać zbioru pustego"... Co najwyżej zbiór rozwiązań naturalnych tej nierówności może być pusty.Tutaj byłem uczony, że wtedy robimy tak:Jan Kraszewski pisze: ↑5 gru 2021, o 15:59A to już brzmi magicznie. W jakim celu "trzeba zrobić negację kwantyfikatora"? I co to znaczy "na tej nierówności będziemy działać"?
\(\displaystyle{ \neg(\forall x\in \NN, (n^2\cdot 2^n \, < n^2+n-2)) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \exists x\in \NN,( n^2 \cdot 2^n \, \ge n^2+n-2)}\)
No i dowód indukcji matematycznej robimy na nierówności \(\displaystyle{ n^2 \cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\)
Wiadomo (bez opisu dokładnego pisania założeń oczywiście co należy robić ale to już wolę na papierze na spokojnie robić)\(\displaystyle{ n^2 \cdot 2^n \, \ge n^2+n-2}\) sprawdzamy dla n=0
\(\displaystyle{ 0^2 \cdot 2^0 \, \ge 0^2+0-2}\)
\(\displaystyle{ 0 \ge -2}\)
Okej pierwszy krok mamy spełniony więc teraz piszemy założenie dla k, \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k \, \ge k^2+k-2}\) i otrzymujemy tezę
\(\displaystyle{ (k+1)^2 \cdot 2^{k+1} \, \ge (k+1)^2+k+1-2}\)
No i tutaj ponawiam pytanie przez co mam pomnożyć nierówność z twierdzenia \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k \, \ge k^2+k-2}\) aby otrzymać to samo co w twierdzeniu? (tak jak robiłem w innych przykładach, że mnożyłem np. przez 3 i wtedy mieć te dwie nierówności jak np. \(\displaystyle{ 3^{k}>3k^2>(k+1)^2}\))
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Indukcja matematyczna w nierówności
Podobnie - robisz analizę sytuacji. Wiesz, że dla ustalonego \(\displaystyle{ k\in\NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k\ge k^2+k-2}\), chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ L=(k+1)^2 \cdot 2^{k+1} \ge k^2+3k=P}\), czyli - równoważnie - \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k+(2k+1)\cdot 2^k\ge k^2+3}\). Korzystając z założenia indukcyjnego wiesz, że \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k+(2k+1)\cdot 2^k\ge k^2+k-2+(2k+1)\cdot 2^k}\) zatem do dowodu nierówności \(\displaystyle{ L\ge P}\) wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ k^2+k-2+(2k+1)\cdot 2^k\ge k^2+3k}\), czyli - równoważnie - \(\displaystyle{ (2k+1)\cdot 2^k\ge 2k+2}\). Ta z kolei nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ k\ge 1}\), bo wtedy \(\displaystyle{ (2k+1)\cdot 2^k\ge (2k+1)\cdot 2=4k+2\ge 2k+2}\). Musisz jednak pamiętać, że wtedy dla pełności dowodu musisz jeszcze ręcznie sprawdzić przypadek \(\displaystyle{ k=1}\).smp pisze: ↑5 gru 2021, o 16:43Okej pierwszy krok mamy spełniony więc teraz piszemy założenie dla k, \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k \, \ge k^2+k-2}\) i otrzymujemy tezę
\(\displaystyle{ (k+1)^2 \cdot 2^{k+1} \, \ge (k+1)^2+k+1-2}\)
No i tutaj ponawiam pytanie przez co mam pomnożyć nierówność z twierdzenia \(\displaystyle{ k^2 \cdot 2^k \, \ge k^2+k-2}\) aby otrzymać to samo co w twierdzeniu? (tak jak robiłem w innych przykładach, że mnożyłem np. przez 3 i wtedy mieć te dwie nierówności jak np. \(\displaystyle{ 3^{k}>3k^2>(k+1)^2}\))
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 23 paź 2021, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 5 razy
Re: Indukcja matematyczna w nierówności
Skąd ci wyszło, że po prawej stronie masz \(\displaystyle{ k^2+3k}\)?Jan Kraszewski pisze: ↑5 gru 2021, o 18:35 chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ L=(k+1)^2 \cdot 2^{k+1} \ge k^2+3k=P}\)