Dowód indukcyjny - podzielność

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
konrad099z
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 paź 2021, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Dowód indukcyjny - podzielność

Post autor: konrad099z »

Mam problem z wykazaniem podzielności poprzez indukcje.

Liczba \(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).

Nie wiem jak przekształcić tezę indukcyjną.
Z góry dzięki.
Ostatnio zmieniony 24 paź 2021, o 20:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dowód indukcyjny - podzielność

Post autor: Jan Kraszewski »

Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ n\in\NN}\), dla którego liczba \(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\). Chcesz pokazać, że liczba \(\displaystyle{ 2^{2(n+1)+1}+3^{2(n+1)-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).

Wiesz, że \(\displaystyle{ 2^{2(n+1)+1}+3^{2(n+1)-1}=2^{2n+1+2}+3^{2n-1+2}=4\cdot2^{2n+1}+9\cdot 3^{2n-1}=...}\)

JK
konrad099z
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 paź 2021, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Re: Dowód indukcyjny - podzielność

Post autor: konrad099z »

A w jaki sposób doprowadzić to do postaci, z której będzie widać, że ta liczba jest podzielna przez 5?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dowód indukcyjny - podzielność

Post autor: Jan Kraszewski »

Od tej postaci dzieli Cię jedno przejście - spróbuj sam pokombinować. Pamiętaj, jak wygląda założenie indukcyjne.

JK
Math_Logic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 14 razy

Re: Dowód indukcyjny - podzielność

Post autor: Math_Logic »

konrad099z pisze: 24 paź 2021, o 19:15 Mam problem z wykazaniem podzielności poprzez indukcje.

Liczba \(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
Obawiam się, że nie jest.

Dla \(\displaystyle{ n = 3}\)

\(\displaystyle{ 2^7 + 3^5 = 371}\)

Dla \(\displaystyle{ n = 4}\) też nie zadziała i kilka innych podstawień również.

Jan Kraszewski pisze: 24 paź 2021, o 19:20 Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ n\in\NN}\), dla którego liczba \(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\). Chcesz pokazać, że liczba \(\displaystyle{ 2^{2(n+1)+1}+3^{2(n+1)-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).

Wiesz, że \(\displaystyle{ 2^{2(n+1)+1}+3^{2(n+1)-1}=2^{2n+1+2}+3^{2n-1+2}=4\cdot2^{2n+1}+9\cdot 3^{2n-1}=...}\)
I co dalej? Mi z rachunków (mało formalnych i na kolanie) wychodzi, że jeżeli to będzie podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\), to rzadko.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dowód indukcyjny - podzielność

Post autor: Jan Kraszewski »

No nie jest (przyznam, że nie sprawdziłem kroku bazowego), ale to wynika raczej z pomyłki w zapisie treści zadania. Powinno być zapewne

Liczba \(\displaystyle{ 2^{2n-1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).

JK
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Dowód indukcyjny - podzielność

Post autor: Premislav »

Swoją drogą udowodnienie podzielności przez pięć za pomocą indukcji matematycznej jest w tym akurat przypadku czystą sztuką dla sztuki, wszak wystarczy skorzystać ze wzoru na sumę potęg nieparzystych i, co może umknąć uczniowi szkoły średniej, wykazać, że drugi czynnik jest większy niż \(\displaystyle{ 1}\).
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Dowód indukcyjny - podzielność

Post autor: Dasio11 »

Premislav pisze: 25 paź 2021, o 03:08wykazać, że drugi czynnik jest większy niż \(\displaystyle{ 1}\).
To chyba niepotrzebne?
Math_Logic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 14 razy

Re: Dowód indukcyjny - podzielność

Post autor: Math_Logic »

konrad099z pisze: 24 paź 2021, o 22:01 A w jaki sposób doprowadzić to do postaci, z której będzie widać, że ta liczba jest podzielna przez 5?
Wracając do zadania. Jeżeli Jan Kraszewski mówi, że raczej chodziło o:
Jan Kraszewski pisze: 24 paź 2021, o 23:03 Liczba \(\displaystyle{ 2^{2n-1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
To pewnie o to chodziło...

Natomiast jak to rozwiązać? Najpierw sprawdzasz ręcznie, czy to zachodzi dla jakiegoś \(\displaystyle{ n}\).
Zobaczmy \(\displaystyle{ n=1}\)

\(\displaystyle{ 2^1 + 3^1 = 5.}\)
\(\displaystyle{ 5}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\), więc zachodzi.

Teraz ustalasz dowolne \(\displaystyle{ n \in \NN,}\) dla którego liczba \(\displaystyle{ 2^{2n-1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
I sprawdzasz, czy zachodzi dla \(\displaystyle{ n+1}\)

\(\displaystyle{ 2^{2(n+1)-1}+3^{2(n+1)-1} = 2^{2n+2-1}+3^{2n+2-1} =2^{2n-1+2} + 3^{2n-1+2} = 4 \cdot 2^{2n-1} + 9 \cdot 3^{2n-1} = ...}\)

No i masz bardzo podobną sytuację. Spróbuj sam, mogę podpowiedzieć, że \(\displaystyle{ 9 = 4+5.}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Dowód indukcyjny - podzielność

Post autor: a4karo »

Ale się namieszało w tym poście.
Autor pytał jak uzasadnić krok indukcyjny i JK pokazał jak to zrobić.

Koniec tematu. Próby dopasowania treści zadania do tezy to kombinowanie. Najbardziej zaś kombinuje autor zadania, który nie sprawdził warunku początkowego :)

Twierdzenie nie jest prawdziwe, bo dla dowolnego `n` ostatnią cyfrą badanej liczby jest `1` lub `9` (Potęgi dwójki kończą się na `8, 2, 8, 2..`, potęgi trójki na `3, 7, 3, 7, ...`).
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Dowód indukcyjny - podzielność

Post autor: arek1357 »

Można ładniej:

\(\displaystyle{ 2^{2n-1}=2,3,2,3,2,3,.... \mod 5}\)

\(\displaystyle{ 3^{2n-1}=3,2,3,2,3,2,... \mod 5}\)

Na przemian

A sumy po kolumnach dadzą zawsze.:\(\displaystyle{ 5=0}\)...
ODPOWIEDZ