Dowód indukcyjny - podzielność
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 24 paź 2021, o 19:06
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
Dowód indukcyjny - podzielność
Mam problem z wykazaniem podzielności poprzez indukcje.
Liczba \(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
Nie wiem jak przekształcić tezę indukcyjną.
Z góry dzięki.
Liczba \(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
Nie wiem jak przekształcić tezę indukcyjną.
Z góry dzięki.
Ostatnio zmieniony 24 paź 2021, o 20:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Dowód indukcyjny - podzielność
Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ n\in\NN}\), dla którego liczba \(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\). Chcesz pokazać, że liczba \(\displaystyle{ 2^{2(n+1)+1}+3^{2(n+1)-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
Wiesz, że \(\displaystyle{ 2^{2(n+1)+1}+3^{2(n+1)-1}=2^{2n+1+2}+3^{2n-1+2}=4\cdot2^{2n+1}+9\cdot 3^{2n-1}=...}\)
JK
Wiesz, że \(\displaystyle{ 2^{2(n+1)+1}+3^{2(n+1)-1}=2^{2n+1+2}+3^{2n-1+2}=4\cdot2^{2n+1}+9\cdot 3^{2n-1}=...}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 24 paź 2021, o 19:06
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
Re: Dowód indukcyjny - podzielność
A w jaki sposób doprowadzić to do postaci, z której będzie widać, że ta liczba jest podzielna przez 5?
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Dowód indukcyjny - podzielność
Od tej postaci dzieli Cię jedno przejście - spróbuj sam pokombinować. Pamiętaj, jak wygląda założenie indukcyjne.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Dowód indukcyjny - podzielność
Obawiam się, że nie jest.konrad099z pisze: ↑24 paź 2021, o 19:15 Mam problem z wykazaniem podzielności poprzez indukcje.
Liczba \(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
Dla \(\displaystyle{ n = 3}\)
\(\displaystyle{ 2^7 + 3^5 = 371}\)
Dla \(\displaystyle{ n = 4}\) też nie zadziała i kilka innych podstawień również.
I co dalej? Mi z rachunków (mało formalnych i na kolanie) wychodzi, że jeżeli to będzie podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\), to rzadko.Jan Kraszewski pisze: ↑24 paź 2021, o 19:20 Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ n\in\NN}\), dla którego liczba \(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\). Chcesz pokazać, że liczba \(\displaystyle{ 2^{2(n+1)+1}+3^{2(n+1)-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
Wiesz, że \(\displaystyle{ 2^{2(n+1)+1}+3^{2(n+1)-1}=2^{2n+1+2}+3^{2n-1+2}=4\cdot2^{2n+1}+9\cdot 3^{2n-1}=...}\)
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Dowód indukcyjny - podzielność
No nie jest (przyznam, że nie sprawdziłem kroku bazowego), ale to wynika raczej z pomyłki w zapisie treści zadania. Powinno być zapewne
Liczba \(\displaystyle{ 2^{2n-1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
JK
Liczba \(\displaystyle{ 2^{2n-1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
JK
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Dowód indukcyjny - podzielność
Swoją drogą udowodnienie podzielności przez pięć za pomocą indukcji matematycznej jest w tym akurat przypadku czystą sztuką dla sztuki, wszak wystarczy skorzystać ze wzoru na sumę potęg nieparzystych i, co może umknąć uczniowi szkoły średniej, wykazać, że drugi czynnik jest większy niż \(\displaystyle{ 1}\).
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10255
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2376 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Dowód indukcyjny - podzielność
Wracając do zadania. Jeżeli Jan Kraszewski mówi, że raczej chodziło o:konrad099z pisze: ↑24 paź 2021, o 22:01 A w jaki sposób doprowadzić to do postaci, z której będzie widać, że ta liczba jest podzielna przez 5?
To pewnie o to chodziło...Jan Kraszewski pisze: ↑24 paź 2021, o 23:03 Liczba \(\displaystyle{ 2^{2n-1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
Natomiast jak to rozwiązać? Najpierw sprawdzasz ręcznie, czy to zachodzi dla jakiegoś \(\displaystyle{ n}\).
Zobaczmy \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ 2^1 + 3^1 = 5.}\)
\(\displaystyle{ 5}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\), więc zachodzi.
Teraz ustalasz dowolne \(\displaystyle{ n \in \NN,}\) dla którego liczba \(\displaystyle{ 2^{2n-1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
I sprawdzasz, czy zachodzi dla \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ 2^{2(n+1)-1}+3^{2(n+1)-1} = 2^{2n+2-1}+3^{2n+2-1} =2^{2n-1+2} + 3^{2n-1+2} = 4 \cdot 2^{2n-1} + 9 \cdot 3^{2n-1} = ...}\)
No i masz bardzo podobną sytuację. Spróbuj sam, mogę podpowiedzieć, że \(\displaystyle{ 9 = 4+5.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Dowód indukcyjny - podzielność
Ale się namieszało w tym poście.
Autor pytał jak uzasadnić krok indukcyjny i JK pokazał jak to zrobić.
Koniec tematu. Próby dopasowania treści zadania do tezy to kombinowanie. Najbardziej zaś kombinuje autor zadania, który nie sprawdził warunku początkowego
Twierdzenie nie jest prawdziwe, bo dla dowolnego `n` ostatnią cyfrą badanej liczby jest `1` lub `9` (Potęgi dwójki kończą się na `8, 2, 8, 2..`, potęgi trójki na `3, 7, 3, 7, ...`).
Autor pytał jak uzasadnić krok indukcyjny i JK pokazał jak to zrobić.
Koniec tematu. Próby dopasowania treści zadania do tezy to kombinowanie. Najbardziej zaś kombinuje autor zadania, który nie sprawdził warunku początkowego
Twierdzenie nie jest prawdziwe, bo dla dowolnego `n` ostatnią cyfrą badanej liczby jest `1` lub `9` (Potęgi dwójki kończą się na `8, 2, 8, 2..`, potęgi trójki na `3, 7, 3, 7, ...`).
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Dowód indukcyjny - podzielność
Można ładniej:
\(\displaystyle{ 2^{2n-1}=2,3,2,3,2,3,.... \mod 5}\)
\(\displaystyle{ 3^{2n-1}=3,2,3,2,3,2,... \mod 5}\)
Na przemian
A sumy po kolumnach dadzą zawsze.:\(\displaystyle{ 5=0}\)...
\(\displaystyle{ 2^{2n-1}=2,3,2,3,2,3,.... \mod 5}\)
\(\displaystyle{ 3^{2n-1}=3,2,3,2,3,2,... \mod 5}\)
Na przemian
A sumy po kolumnach dadzą zawsze.:\(\displaystyle{ 5=0}\)...