Zbiór rozwiązań

[matshadow]

Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ g(a)=\frac{a^2-a}{a^2+a+1}}\)?

[Dargi]

\(\displaystyle{ g'=\frac{(2a-1)(a^2+a+1)-(a^2-a)(2a+1)}{(a^2+a+1)}}\)
Przyrównując do zera pochodną znajdź ekstrema funkcji.

[matshadow]

a bez pochodnych? Bo nie brałem jeszcze pochodnych

[robert9000]

zbiorem wartości, są wszystkie takie k, że \(\displaystyle{ \frac{a^{2}-a}{a^{2}+a+1} =k}\) ma rozwiązanie, więc:

\(\displaystyle{ \frac{a^{2}-a}{a^{2}+a+1} =k \\
a^{2}-a=ka^{2}+ka+k \\
(k-1)a^{2}+(k+1)a+k=0}\)

teraz, żeby dowiedzieć się jaki jest zbiór wartości wyjściowej funkcji, musimy sprawdzić kiedy to równanie ma rozwiązanie, a więc:

\(\displaystyle{ \Delta qslant 0 \\
...}\)

Jeżeli dziedziną wyjściowego równania nie były by R to wtedy przed liczeniem delty do tamtego równania trzeba wstawić liczby wyrzucone z dziedziny i sprawdzić jakie jest wtedy k, i w ogólnym rozwiązaniu odrzuci te wszystkie k

[matshadow]

a właściwie czemu muszę sprawdzać, kiedy \(\displaystyle{ \Delta qslant 0}\)?

[robert9000]

żeby wiedzieć dla jakiego k istnieje rozwiązanie, a co za tym idzie dla jakiego k wyjściowe równanie jest właściwe, (zbiorem wartości, są wszystkie takie k, że .... ma rozwiązanie [napisałem to w pierwszej linijce rozwiązania]), no więc, żeby sprawdzić kiedy jest to rozwiązanie liczysz tą deltę ;]

P.S. deltę liczy się tylko z równania kwadratowego, a to nie jest zawsze kwadratowe

[matshadow]

Czyli jakby delta wyszła ujemna, to mam rozumieć że funkcja nie ma określonego zbioru wartości?

[robert9000]

teoretycznie tak, ale praktycznie nie wiem czy zajdzie taka sytuacja
w takim przypadku nie była by to funkcja