Udowodnic ze funkcja jest malejaca

KaMyLuS · Post autor: **KaMyLuS** » 15 sty 2008, o 20:30

Udowodnij ze funkcja
\(\displaystyle{ f(x)= x^{3}-x^{2}+x}\)
jest rosnąca w zbiorze liczb rzeczywistych.

Moja rozkmina jest taka:
\(\displaystyle{ x_{2}^{3}-x_{2}^{2}+x_{2}}\)

jarekp · Post autor: **jarekp** » 15 sty 2008, o 20:43

\(\displaystyle{ f'(x)= 3x^{2}-2x+1 =2x^2 +x^2-2x+1=2x^2+ (x-1)^2>0}\)
czyli funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie

KaMyLuS · Post autor: **KaMyLuS** » 15 sty 2008, o 21:07

Yyyy skad Ci sie to wzielo, tzn taki wzor funkcji? Czyzbys zrobil cos o czym ja nie mam jeszcze pojecia?

dabros · Post autor: **dabros** » 15 sty 2008, o 21:18

po prostu policzył pierwszą pochodną funkcji
na tej podstawie okresla sie monotonicznosc funkcji (zajrzyj do podrecznika do szkoly sredniej)

KaMyLuS · Post autor: **KaMyLuS** » 15 sty 2008, o 21:26

Przeglądnąłem swoj podrecznik do 1 klasy i nic tam o pochodnym nie ma... nigdzie sie cos takiego nie pojawia. My udowadniamy to ze funkcja jest rosnaca/malejaca przez wlasnie takie kombinowanie na nierownosciach itp z wykorzystaniem definicji, dlatego moj sposob byl taki a nie inny, ale jakos w 100% do niego nie jestem przekonany dlatego sie zapytalem czy jest dobry.

dabros · Post autor: **dabros** » 15 sty 2008, o 21:42

pochodne prawdopodobnie będziesz miał dopiero w 3 klasie (jeśli wogóle jeszcze będą w programie

)
co do twojego sposobu:
\(\displaystyle{ f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}^{3}-x_{1}^{2}+x_{1}-x_{2}^{3}+x_{2}^{2}-x_{2}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+1-x_{1}-x_{2}) >0}\)
pozostawiam ci do wykazania, że drugi nawias jest istotnie większy od zera