Matematyka.pl

1.) Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ p,q R}\) zaś \(\displaystyle{ a R\small\setminus\normal\{0\}}\), to równanie :
a) \(\displaystyle{ \frac{1}{x-p}+\frac{1}{x-q}=1}\),
b) \(\displaystyle{ \frac{1}{x-p}+\frac{1}{x-q}=\frac{1}{a^2}}\)
ma rozwiązania.
2.) Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ \frac{x-m}{4-6x}-\frac{2x+m}{2x+1}=\frac{2-m-7x^2}{6x^2-x-2}}\)

We wszystkich zrobić odpowiednie założenia na x (mianowniki się nie zerują). W pierwszym sprowadzić do wspólnego i pomnożyć "na krzyż" proporcję. W drugim zaś od razu pomnożyć przez mianownik ułamka po prawej stronie równania i za każdym razem sprawdzać deltę, by nieujemna była.

Rogal pewnie chodzi o to żeby wykazać, że ta delta jest nieujemna dla p i q należących do rzeczywistych, prawda?

Mam tą deltę jeszcze przed sobą i jak na moje oko, to może być ona ujemna dla pewnych p i q, ale można je ograniczyć odpowiednio i wtedy zawsze będzie rozwiązanie. Ogólnie zdaje mi się, że takie równanie w ogóle ma rozwiązanie w rzeczywistych i można to pokazać właśnie ograniczając p i q z warunku dla delty nieujemnej. Ale trudno to autoratywnie powiedzieć, musimy czekać na odpowiedź autora.

Nie wiem Rogal jak Twoja delta ale moja wygląda tak:
\(\displaystyle{ \Delta=4+q^2+p^2-2pq\\ \Delta=4+\(p-q\)^2}\)
czyli jest większa dla każdego p i q.
Chyba że coś przekombinowałam.

No nie wiem, moja wygląda trochu inaczej, więc wrzucę może całe rozumowanie, by uniknąć nieporozumień.

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-p}+\frac{1}{x-q}=1 \\ \frac{x-q+x-p}{(x-p)(x-q)}=1 \\ 2x-q-p=x^{2}-qx-px+pq \\ x^{2}+x(-p-q-2)+pq+p+q=0 \\ \Delta=(p+q+2)^{2}-4(pq+p+q) \\ \Delta=p^{2}+q^{2}+4+4p+4q+2pq-4pq-4p-4q}\) - i tutaj miałem błąd na kartce i teraz ta delta wygląda zupełnie przyzwoicie
\(\displaystyle{ \Delta=p^{2}-2pq +q^{2}+4 \\ (p-q)^{2}+4}\) - co niewątpliwie jest zawsze większe od zera.

EDIT:
Już widzę błąd - nie umiem podnosić do kwadratu
Teraz wszystko się zgadza.