Znajdź funkcję odwrotną.

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Madzzia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 21 razy

Znajdź funkcję odwrotną.

Post autor: Madzzia »

Wiedząc, że istnieje funkcja odwrotna znajdź ją:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ax+b}{cx-a}, a^{2}+bc \neq 0 }\)
Rozwiązanie:
Założenie: \(\displaystyle{ x \neq \frac{a}{c} \wedge c \neq 0}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{ax+b}{cx-a} }\)
\(\displaystyle{ ycx-ya=ax+b}\)
\(\displaystyle{ x(yc-a)=b+ya}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{b+ya}{yc-a} }\)
\(\displaystyle{ f^{-1}(x)=h(x)= \frac{b+xa}{xc-a} }\) gdzie \(\displaystyle{ x \neq \frac{a}{c} \wedge c \neq 0}\)
Czy to jest poprawne rozwiązanie? Czy należy tutaj coś uzasadniać?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Znajdź funkcję odwrotną.

Post autor: Jan Kraszewski »

Madzzia pisze: 6 lis 2021, o 19:02 Wiedząc, że istnieje funkcja odwrotna znajdź ją:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ax+b}{cx-a}, a^{2}+bc \neq 0 }\)
Rozwiązanie:
Założenie: \(\displaystyle{ x \neq \frac{a}{c} \wedge c \neq 0}\)
A dlaczego \(\displaystyle{ c\ne 0}\) ?

JK
Madzzia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 21 razy

Re: Znajdź funkcję odwrotną.

Post autor: Madzzia »

Jan Kraszewski pisze: 6 lis 2021, o 19:22 A dlaczego \(\displaystyle{ c\ne 0}\) ?
JK
Rzeczywiście, czyli powinnam teraz rozpatrzyć drugi przypadek gdy \(\displaystyle{ c \neq 0 \wedge a \neq 0}\)
Czy wystarczy przy założeniu zatrzymać się na tym etapie: \(\displaystyle{ cx \neq a}\) i resztę zostawić?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Znajdź funkcję odwrotną.

Post autor: Jan Kraszewski »

Madzzia pisze: 6 lis 2021, o 19:57Rzeczywiście, czyli powinnam teraz rozpatrzyć drugi przypadek gdy \(\displaystyle{ c \neq 0 \wedge a \neq 0}\)
Ale po co?

Współczynniki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) nie mogą być równocześnie zerami, a jeśli jeden z nich jest zerem, to nie ma problemu.

Twoje rachunki są dobre i - jak nietrudno zauważyć - \(\displaystyle{ f^{-1}(x)=f(x)}\). Przypadki \(\displaystyle{ c\ne 0}\) i \(\displaystyle{ c=0}\) odpowiadają funkcji homograficznej (o dziedzinie \(\displaystyle{ \RR\setminus\left\{ \frac{a}{c}\right\} }\)) i funkcji liniowej (o dziedzinie \(\displaystyle{ \RR}\)), ale w obu przypadkach masz funkcję która jest odwrotna sama do siebie (czyli o wykresie symetrycznym względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\)).

JK
ODPOWIEDZ