Matematyka.pl

Żeby to miało ręce i nogi, to będziemy chcieli \(\displaystyle{ n\ge 3}\). Indukcja. Baza: zachodzi \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}>3}\), bo \(\displaystyle{ 4>3}\). Zakładamy prawdziwość twierdzenia dla pewnego ustalonego \(\displaystyle{ k\ge 3}\). Dla dowodu kroku indukcyjnego wystarczy \(\displaystyle{ k\sqrt[k]{k+1}>k+1}\), czyli \(\displaystyle{ k+1>\left(1+\frac{1}{k}\right)^k}\). To jest prawda, bo wyrażenie po prawej stronie monotonicznie rośnie do \(\displaystyle{ e}\), a wyrażenie po lewej stronie jest zawsze większe od \(\displaystyle{ e}\). Z dowolności wyboru \(\displaystyle{ k}\), na podstawie ZIM, mamy prawdziwość dla dowolnego \(\displaystyle{ n\ge 3}\). To podkreślone można pokazać dla pewnych dowolnie ustalonych liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ k,m}\), gdzie \(\displaystyle{ m>k}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{m+1}{m}\neq 1}\), to z AM-GM mamy ostro $$\frac{m+1}{m}=\frac{k\cdot\frac{k+1}{k}+(m-k)\cdot 1}{k+(m-k)}>\sqrt[k+(m-k)]{\left(\frac{k+1}{k}\right)^k\cdot 1^{m-k}},$$ czyli \(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{m}\right)^m>\left(1+\frac{1}{k}\right)^k}\). To, że do \(\displaystyle{ e}\), wynika z definicji. Dowód, że \(\displaystyle{ 3>e}\) pewnie gdzieś obok się już pojawił, a jeżeli nie, to (chodzi o trzymanie się tej samej definicji \(\displaystyle{ e}\)) można go przeprowadzić np. w oparciu o fakt, że ciąg o wyrazie \(\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}\) monotonicznie maleje, co można udowodnić indukcyjnie. Mamy \(\displaystyle{ a_1>a_2}\), bo \(\displaystyle{ 32>27}\). Ustalamy \(\displaystyle{ k\ge 1}\), zakładamy prawdziwość dla \(\displaystyle{ k}\) i będziemy dowodzić, że \(\displaystyle{ \frac{a_k}{a_{k+1}}>1}\), czyli że $$\frac{\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1}}{\left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{k}}\cdot\left(\frac{1+\frac{1}{k}}{1+\frac{1}{k+1}}\right)^{k+2}=\frac{1}{1+\frac{1}{k}}\cdot\left(1+\frac{1}{k(k+2)}\right)^{k+2}>1,$$ co jest prawdziwe na mocy nierówności Bernoulliego. Z dowolności wyboru \(\displaystyle{ k}\), na podstawie ZIM, mamy prawdziwość dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\). Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) zatem zbiega monotonicznie do \(\displaystyle{ e}\), bo \(\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\), wystarczy więc pokazać, że istnieje taka całkowita dodatnia liczba \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ a_k<3}\). Bierzemy \(\displaystyle{ k=5}\) i mamy równoważnie \(\displaystyle{ 3\cdot 5^6>6^6}\), czyli \(\displaystyle{ 5^6>4^3\cdot 3^5}\). To jest prawda, bo \(\displaystyle{ 108\cdot 144<110\cdot 142=5\cdot 11\cdot 284<5^6}\) się sprowadza do \(\displaystyle{ 3124<3125}\).

PS Można sobie po taniości dowieść \(\displaystyle{ 4>e}\), bo tyle wystarczy na potrzeby głównego problemu, a to zachodzi już dla \(\displaystyle{ a_2}\).