Wymierny pierwiastek

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8252
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2722 razy
Pomógł: 697 razy

Wymierny pierwiastek

Post autor: mol_ksiazkowy » 3 mar 2020, o 11:14

Udowodnić że jeśli liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) są wymierne i \(\displaystyle{ \frac{1}{a+bc} + \frac{1}{b+ac} = \frac{1}{a+b} }\), to \(\displaystyle{ \sqrt{(c-3)(c+1)} }\) jest liczbą wymierną.
Ostatnio zmieniony 3 mar 2020, o 13:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8175
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 272 razy
Pomógł: 3192 razy

Re: Wymierny pierwiastek

Post autor: kerajs » 3 mar 2020, o 13:42

\(\displaystyle{ \frac{1}{a+bc} + \frac{1}{b+ac} = \frac{1}{a+b} }\)
1) Wstawiając zero za \(\displaystyle{ a,b}\) lub \(\displaystyle{ c}\) dostaje się równanie sprzeczne, więc \(\displaystyle{ abc \neq 0 }\)
2) Powyższą równość mnożę przez trzy mianowniki i dostaję trójmian kwadratowy względem c:
\(\displaystyle{ abc^2-2abc+ab-(a+b)^2=0\\
c^2=2c-1+ \frac{(a+b)^2}{ab} }\)

co wstawiam w pierwiastek:
\(\displaystyle{ \sqrt{(c-3)(c+1)}= \sqrt{c^2-2c-3}= \sqrt{2c-1+ \frac{(a+b)^2}{ab} -2c-3}=\\= \sqrt{ \frac{(a-b)^2}{ab} }= \frac{\left| a-b\right| }{ \sqrt{ab} } }\)

Z drugiej strony z trójmianu kwadratowego mam pierwiastki
\(\displaystyle{ c_1=1- \frac{\left| a+b\right| }{ \sqrt{ab} } \vee c_2=1+\frac{\left| a+b\right| }{ \sqrt{ab} } }\)
które z założenia są wymierne jesli istnieją , więc \(\displaystyle{ \sqrt{ab}}\) także jest wymierny , więc i \(\displaystyle{ \sqrt{(c-3)(c+1)}= \frac{\left| a-b\right| }{ \sqrt{ab} } }\) także wymiernym jest.

ODPOWIEDZ