Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami
Witam
Proszę o sprawdzenie i ewentualną korektę. Zadanie jest rozwiąż równanie.
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)}+ \frac{1}{(x-1)(x+2)}+ \frac{1}{(x+2)(x+5)}+ \frac{1}{(x+5)(x+8}=- \frac{4}{11} }\)
Najpierw oczywiście dziedzina
Sprowadziłam do wspólnego mianownika i w liczniku wyszedł mi wielomian, który oczywiście pogrupowałam.
Po pogrupowaniu wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{4(x+4)}{(x-4)(x+8)(x+2}= -\frac{4}{11} }\)
No i proszę o pomoc, bo nie wiem, czy to jest dobrze i czy mam dalej to rozwiązywać.
Proszę o sprawdzenie i ewentualną korektę. Zadanie jest rozwiąż równanie.
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)}+ \frac{1}{(x-1)(x+2)}+ \frac{1}{(x+2)(x+5)}+ \frac{1}{(x+5)(x+8}=- \frac{4}{11} }\)
Najpierw oczywiście dziedzina
Sprowadziłam do wspólnego mianownika i w liczniku wyszedł mi wielomian, który oczywiście pogrupowałam.
Po pogrupowaniu wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{4(x+4)}{(x-4)(x+8)(x+2}= -\frac{4}{11} }\)
No i proszę o pomoc, bo nie wiem, czy to jest dobrze i czy mam dalej to rozwiązywać.
-
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami
Nie jest poprawnie. Zrobiłaś gdzieś błąd w obliczeniach.
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)}+ \frac{1}{(x-1)(x+2)} =
\frac{2}{(x-4)(x+2)} \\
\frac{1}{(x+2)(x+5)}+ \frac{1}{(x+5)(x+8)} =
\frac{2}{(x+2)(x+8)} \\
\frac{2}{(x-4)(x+2)} + \frac{2}{(x+2)(x+8)} = - \frac{4}{11} \\
\frac{4}{(x-4)(x+8)}= - \frac{4}{11} \\
…}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)}+ \frac{1}{(x-1)(x+2)} =
\frac{2}{(x-4)(x+2)} \\
\frac{1}{(x+2)(x+5)}+ \frac{1}{(x+5)(x+8)} =
\frac{2}{(x+2)(x+8)} \\
\frac{2}{(x-4)(x+2)} + \frac{2}{(x+2)(x+8)} = - \frac{4}{11} \\
\frac{4}{(x-4)(x+8)}= - \frac{4}{11} \\
…}\)
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami
Bo ja słyszałam, że jak się sprowadzi do wspólnego mianownika to dostaniemy wielomian i trzeba pogrupować.
A dobra, czyli tylko trzeba zmienić w jednym miejscu plus na minus, ok, dziękuję.
A dobra, czyli tylko trzeba zmienić w jednym miejscu plus na minus, ok, dziękuję.
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami
Mam wrażenie, że próbujesz doszukiwać się tu magii (zmienić znak???). Nie. W tym przypadku akurat tak wyszłoNiepokonana pisze: ↑4 lut 2020, o 18:14 Bo ja słyszałam, że jak się sprowadzi do wspólnego mianownika to dostaniemy wielomian i trzeba pogrupować.
A dobra, czyli tylko trzeba zmienić w jednym miejscu plus na minus, ok, dziękuję.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami
A mógłby mi Pan powiedzieć, jak sprowadził Pan do wspólnego mianownika, że tam jest tylko \(\displaystyle{ 2}\), a nie \(\displaystyle{ 2x+2}\)?
Dodano po 2 godzinach 5 minutach 13 sekundach:
A dobra, już wiem.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)}+ \frac{1}{(x-1)(x+2)}+ \frac{1}{(x+2)(x+5)}+ \frac{1}{(x+5)(x+8)}=- \frac{4}{11}}\)
Wyciągnijmy odpowiednie wspólne czynniki przed nawias:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1}\left( \frac{1}{x-4} + \frac{1}{x+2} \right) + \frac{1}{x+5} \left( \frac{1}{x+2}+ \frac{1}{x+8} \right)=- \frac{4}{11} }\)
i to, co w nawiasach, do wspólnego mianownika
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1}\left( \frac{x+2+x-4}{(x-4)(x+2)} \right)+ \frac{1}{x+5}\left( \frac{x+8+x+2}{(x+2)(x+8)} \right) =- \frac{4}{11} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1}\left( \frac{2x-2}{(x-4)(x+2)} \right)+ \frac{1}{x+5}\left( \frac{2x+10}{(x+2)(x+8)} \right) =- \frac{4}{11} }\)
upraszczamy:
\(\displaystyle{ \frac{2}{(x-4)(x+2)}+ \frac{2}{(x+2)(x+8)}=- \frac{4}{11} }\)
\(\displaystyle{ \frac{x+8+x-4}{(x-4)(x+2)(x+8)} =- \frac{2}{11} }\)
\(\displaystyle{ \frac{2(x+2)}{(x-4)(x+2)(x+8)} =- \frac{2}{11} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x+8)}=- \frac{1}{11} }\)
a to oznacza, że
\(\displaystyle{ (x-4)(x+8)=-11}\)
Mamy więc do rozwiązania najzwyklejsze równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ x^2+4x-21=0}\)
Wyciągnijmy odpowiednie wspólne czynniki przed nawias:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1}\left( \frac{1}{x-4} + \frac{1}{x+2} \right) + \frac{1}{x+5} \left( \frac{1}{x+2}+ \frac{1}{x+8} \right)=- \frac{4}{11} }\)
i to, co w nawiasach, do wspólnego mianownika
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1}\left( \frac{x+2+x-4}{(x-4)(x+2)} \right)+ \frac{1}{x+5}\left( \frac{x+8+x+2}{(x+2)(x+8)} \right) =- \frac{4}{11} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1}\left( \frac{2x-2}{(x-4)(x+2)} \right)+ \frac{1}{x+5}\left( \frac{2x+10}{(x+2)(x+8)} \right) =- \frac{4}{11} }\)
upraszczamy:
\(\displaystyle{ \frac{2}{(x-4)(x+2)}+ \frac{2}{(x+2)(x+8)}=- \frac{4}{11} }\)
\(\displaystyle{ \frac{x+8+x-4}{(x-4)(x+2)(x+8)} =- \frac{2}{11} }\)
\(\displaystyle{ \frac{2(x+2)}{(x-4)(x+2)(x+8)} =- \frac{2}{11} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x+8)}=- \frac{1}{11} }\)
a to oznacza, że
\(\displaystyle{ (x-4)(x+8)=-11}\)
Mamy więc do rozwiązania najzwyklejsze równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ x^2+4x-21=0}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami
Ogólnie warto wiedzieć, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{x+a} - \frac{1}{x+b} = \frac{b-a}{(x+a)(x+b)}}\).
Stosując ten wzór do każdego składnika w wyjściowej sumie, dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-1} \right) \\[1ex]
\frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2} \right) \\[1ex]
\frac{1}{(x+2)(x+5)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+5} \right) \\[1ex]
\frac{1}{(x+5)(x+8)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+5} - \frac{1}{x+8} \right)}\)
i przez redukcję cała suma skraca się do
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+5)} + \frac{1}{(x+5)(x+8)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+8} \right) = \frac{4}{(x-4)(x+8)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x+a} - \frac{1}{x+b} = \frac{b-a}{(x+a)(x+b)}}\).
Stosując ten wzór do każdego składnika w wyjściowej sumie, dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-1} \right) \\[1ex]
\frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2} \right) \\[1ex]
\frac{1}{(x+2)(x+5)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+5} \right) \\[1ex]
\frac{1}{(x+5)(x+8)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+5} - \frac{1}{x+8} \right)}\)
i przez redukcję cała suma skraca się do
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+5)} + \frac{1}{(x+5)(x+8)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+8} \right) = \frac{4}{(x-4)(x+8)}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami
Może tak:Niepokonana pisze: ↑4 lut 2020, o 20:49 A mógłby mi Pan powiedzieć, jak sprowadził Pan do wspólnego mianownika, że tam jest tylko \(\displaystyle{ 2}\), a nie \(\displaystyle{ 2x+2}\)?
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \\
\frac{1 \cdot (x+2)}{(x-4)(x-1)(x+2)} + \frac{1 \cdot (x-4)}{(x-1)(x+2)(x-4)} = \\
\frac{(x+2) + (x-4)}{(x-4)(x-1)(x+2)} = \\
\frac{2x-2}{(x-4)(x-1)(x+2)} = \\
\frac{2(x-1)}{(x-4)(x-1)(x+2)} = \\
\frac{2}{(x-4)(x+2)}}\)
PS
Przepraszam za tak późną odpowiedź - coś mi wypadło.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy