Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami

Post autor: Niepokonana »

Witam
Proszę o sprawdzenie i ewentualną korektę. Zadanie jest rozwiąż równanie.
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)}+ \frac{1}{(x-1)(x+2)}+ \frac{1}{(x+2)(x+5)}+ \frac{1}{(x+5)(x+8}=- \frac{4}{11} }\)
Najpierw oczywiście dziedzina
Sprowadziłam do wspólnego mianownika i w liczniku wyszedł mi wielomian, który oczywiście pogrupowałam.
Po pogrupowaniu wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{4(x+4)}{(x-4)(x+8)(x+2}= -\frac{4}{11} }\)
No i proszę o pomoc, bo nie wiem, czy to jest dobrze i czy mam dalej to rozwiązywać.
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami

Post autor: Elayne »

Nie jest poprawnie. Zrobiłaś gdzieś błąd w obliczeniach.
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)}+ \frac{1}{(x-1)(x+2)} =
\frac{2}{(x-4)(x+2)} \\

\frac{1}{(x+2)(x+5)}+ \frac{1}{(x+5)(x+8)} =
\frac{2}{(x+2)(x+8)} \\

\frac{2}{(x-4)(x+2)} + \frac{2}{(x+2)(x+8)} = - \frac{4}{11} \\

\frac{4}{(x-4)(x+8)}= - \frac{4}{11} \\
…}\)
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami

Post autor: Niepokonana »

Bo ja słyszałam, że jak się sprowadzi do wspólnego mianownika to dostaniemy wielomian i trzeba pogrupować.
A dobra, czyli tylko trzeba zmienić w jednym miejscu plus na minus, ok, dziękuję.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami

Post autor: a4karo »

Niepokonana pisze: 4 lut 2020, o 18:14 Bo ja słyszałam, że jak się sprowadzi do wspólnego mianownika to dostaniemy wielomian i trzeba pogrupować.
A dobra, czyli tylko trzeba zmienić w jednym miejscu plus na minus, ok, dziękuję.
Mam wrażenie, że próbujesz doszukiwać się tu magii (zmienić znak???). Nie. W tym przypadku akurat tak wyszło
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami

Post autor: Niepokonana »

Elayne pisze: 4 lut 2020, o 17:13 Nie jest poprawnie. Zrobiłaś gdzieś błąd w obliczeniach.
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)}+ \frac{1}{(x-1)(x+2)} =
\frac{2}{(x-4)(x+2)} \\

\frac{1}{(x+2)(x+5)}+ \frac{1}{(x+5)(x+8)} =
\frac{2}{(x+2)(x+8)} \\

…}\)
A mógłby mi Pan powiedzieć, jak sprowadził Pan do wspólnego mianownika, że tam jest tylko \(\displaystyle{ 2}\), a nie \(\displaystyle{ 2x+2}\)?

Dodano po 2 godzinach 5 minutach 13 sekundach:
A dobra, już wiem.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami

Post autor: Dilectus »

\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)}+ \frac{1}{(x-1)(x+2)}+ \frac{1}{(x+2)(x+5)}+ \frac{1}{(x+5)(x+8)}=- \frac{4}{11}}\)

Wyciągnijmy odpowiednie wspólne czynniki przed nawias:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1}\left( \frac{1}{x-4} + \frac{1}{x+2} \right) + \frac{1}{x+5} \left( \frac{1}{x+2}+ \frac{1}{x+8} \right)=- \frac{4}{11} }\)

i to, co w nawiasach, do wspólnego mianownika

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1}\left( \frac{x+2+x-4}{(x-4)(x+2)} \right)+ \frac{1}{x+5}\left( \frac{x+8+x+2}{(x+2)(x+8)} \right) =- \frac{4}{11} }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1}\left( \frac{2x-2}{(x-4)(x+2)} \right)+ \frac{1}{x+5}\left( \frac{2x+10}{(x+2)(x+8)} \right) =- \frac{4}{11} }\)

upraszczamy:

\(\displaystyle{ \frac{2}{(x-4)(x+2)}+ \frac{2}{(x+2)(x+8)}=- \frac{4}{11} }\)

\(\displaystyle{ \frac{x+8+x-4}{(x-4)(x+2)(x+8)} =- \frac{2}{11} }\)

\(\displaystyle{ \frac{2(x+2)}{(x-4)(x+2)(x+8)} =- \frac{2}{11} }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x+8)}=- \frac{1}{11} }\)

a to oznacza, że

\(\displaystyle{ (x-4)(x+8)=-11}\)

Mamy więc do rozwiązania najzwyklejsze równanie kwadratowe:

\(\displaystyle{ x^2+4x-21=0}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami

Post autor: Dasio11 »

Ogólnie warto wiedzieć, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{x+a} - \frac{1}{x+b} = \frac{b-a}{(x+a)(x+b)}}\).

Stosując ten wzór do każdego składnika w wyjściowej sumie, dostajemy

\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-1} \right) \\[1ex]
\frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2} \right) \\[1ex]
\frac{1}{(x+2)(x+5)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+5} \right) \\[1ex]
\frac{1}{(x+5)(x+8)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+5} - \frac{1}{x+8} \right)}\)


i przez redukcję cała suma skraca się do

\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+5)} + \frac{1}{(x+5)(x+8)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+8} \right) = \frac{4}{(x-4)(x+8)}}\)
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami

Post autor: Elayne »

Niepokonana pisze: 4 lut 2020, o 20:49 A mógłby mi Pan powiedzieć, jak sprowadził Pan do wspólnego mianownika, że tam jest tylko \(\displaystyle{ 2}\), a nie \(\displaystyle{ 2x+2}\)?
Może tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-4)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \\
\frac{1 \cdot (x+2)}{(x-4)(x-1)(x+2)} + \frac{1 \cdot (x-4)}{(x-1)(x+2)(x-4)} = \\
\frac{(x+2) + (x-4)}{(x-4)(x-1)(x+2)} = \\
\frac{2x-2}{(x-4)(x-1)(x+2)} = \\
\frac{2(x-1)}{(x-4)(x-1)(x+2)} = \\
\frac{2}{(x-4)(x+2)}}\)


PS
Przepraszam za tak późną odpowiedź - coś mi wypadło.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Rozwiąż równanie z wieloma mianownikami

Post autor: Niepokonana »

Dzięki. Nie no spoko, rozumiem.
ODPOWIEDZ