Gotowy wzór na asymptotę ukośną funkcji wymiernej

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
marek007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 6 sty 2012, o 22:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 5 razy

Gotowy wzór na asymptotę ukośną funkcji wymiernej

Post autor: marek007 »

Nigdzie nie mogłem znaleźć gotowego wzoru na asymptotę ukośną dowolnej funkcji wymiernej.
Irytowało mnie wielokrotne dzielenie pisemne wielomianów lub liczenie granic, więc wyprowadziłem sobie gotowy wzór.
Okazał się zaskakująco łatwy i przyjemny w użyciu 8-)
Trochę dziwne, że go nie mogę znaleźć w żadnych tablicach, ani w internecie.
W końcu to tylko funkcja wymierna...
Jeśli ktoś znajdzie ten wzór gdzie indziej, to proszę dać w komentarzu linka.

To zaczynamy.

Asymptota ukośna funkcji wymiernej istnieje, gdy stopień wielomianu w liczniku jest o jeden wyższy od tego w mianowniku.
(jeśli będzie trzeba, to uzasadnię to później)
Taka funkcja ma postać ogólną:

\(\displaystyle{ F(x)= \frac{a_{n+1}x^{n+1}+a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}}{c_{n}x^n+c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+...+c_{0}} }\)

Dla ułatwienia zapisu przyjmuję oznaczenia:
\(\displaystyle{ a=a_{n+1}}\)
\(\displaystyle{ b=a_n}\)
\(\displaystyle{ c=c_n}\)
\(\displaystyle{ d=c_{n-1} }\)

Przy tych oznaczeniach funkcja ma postać:
\(\displaystyle{ F(x)= \frac{ax^{n+1}+bx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}}{cx^n+dx^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+...+c_{0}} }\)

Jeżeli dodatkowo przyjmę, że \(\displaystyle{ c=1}\) oraz \(\displaystyle{ n \ge 1}\),
to asymptota ukośna powyższej funkcji ma wzór:
\(\displaystyle{ y=ax+b-ad}\).

Jest to funkcja liniowa \(\displaystyle{ y=ax+b}\) przesunięta w dół o \(\displaystyle{ ad}\).
Moim zdaniem, przy tak prostym wzorze każda inna metoda jest wyciąganiem armat na komary.



Przykłady użycia powyższego wzoru:

1. Dla funkcji \(\displaystyle{ F(x)= \frac{3x^5+12x^4-2x+6}{x^4+7x^3-1} }\)
asymptota ukośna to \(\displaystyle{ y=3x+12-3 \cdot 7 }\),
czyli \(\displaystyle{ y=3x-9}\).

2. \(\displaystyle{ F(x)= \frac{7x^{15}+12x^{14}-2x+6}{x^{14}-2x^{13}-11} }\)
Asymptota ukośna to \(\displaystyle{ y=7x+12-7 \cdot (-2) }\),
czyli \(\displaystyle{ y=7x+26}\).

3. \(\displaystyle{ F(x)= \frac{3x^3-2x+6}{x^2+4x-1} }\)
Asymptota ukośna to \(\displaystyle{ y=3x+0-3 \cdot 4 }\),
czyli \(\displaystyle{ y=3x-12}\).

4. \(\displaystyle{ F(x)= \frac{-3x^{145}+2x^{144}+56x^{56}-16x^{16}}{x^{144}+x^{100}-345x+1} }\)
Asymptota ukośna to \(\displaystyle{ y=-3x+2-(-3) \cdot 0 }\),
czyli \(\displaystyle{ y=-3x+2}\).


5. Jeżeli \(\displaystyle{ c \ne 1}\)
Wzór asymptoty komplikuje się na tyle, że moim zdaniem niewygodnie się z niego korzysta.
W taki wypadku dla danej funkcji skracam ułamek algebraiczny przez \(\displaystyle{ c}\)
(przy czym skupiam się wyłącznie na pierwszych współczynnikach, bo reszta jest nieistotna dla asymptoty).

\(\displaystyle{ F(x)= \frac{2x^3-5x^2-17x+6}{7x^2-4x+1234} \approx \frac{ \frac{2}{7} x^3- \frac{5}{7} x^2}{x^2- \frac{4}{7} x}}\)

Asymptota ukośna to \(\displaystyle{ y= \frac{2}{7} x- \frac{5}{7}- \frac{2}{7} \cdot (- \frac{4}{7} ) }\),
czyli \(\displaystyle{ y=\frac{2}{7} x-\frac{27}{49} }\).



Skrótowy dowód

Mamy funkcję wymierną

\(\displaystyle{ F(x)= \frac{ax^{n+1}+bx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}}{x^n+dx^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+...+c_{0}} }\)

Po wykonaniu dzielenia pisemnego otrzymujemy

\(\displaystyle{ F(x)= ax+b-ad+R(x) }\), gdzie \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } R(x)=0}\).

Zatem \(\displaystyle{ y=ax+b-ad}\) jest asymptotą ukośną (obustronną) wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=F(x)}\).
c.n.d.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Gotowy wzór na asymptotę ukośną funkcji wymiernej

Post autor: janusz47 »

Nie trzeba wyprowadzać gotowego wzoru na asymptotę ukośną wykresu funkcji wymiernej, jeśli zauważymy, że występuje ona wtedy i tylko wtedy gdy, stopień wielomianu licznika jest o jeden większy od stopnia wielomianu mianownika wzoru funkcji. Dzielimy wtedy wielomiany przez siebie i część całkowita tego dzielenia, to postać wzoru asymptoty ukośnej. Wielomian reszty tego dzielenia dąży do zera.

Co możemy zapisać

\(\displaystyle{ \left |\frac{L(x)}{M(x)} - (ax +b)\right| = R(x), \lim_{x\to \pm \infty} R(x) = 0. }\)

Dodano po 11 minutach 23 sekundach:

Dygresja

Pamiętam wykłady, Pana Prof. Witolda Pogorzelskiego, czy Pana Prof. Romana Leitnera , którzy nie używali ogólnego wzoru na asymptotę pochyłą wykresu funkcji wymiernej jak tylko dzielenie wielomianów.
marek007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 6 sty 2012, o 22:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 5 razy

Re: Gotowy wzór na asymptotę ukośną funkcji wymiernej

Post autor: marek007 »

Pisałem o metodzie dzielenia wielomianów na samym wstępie.
Szukałem czegoś szybszego i wygodniejszego. Chodzi o maksymalne skrócenie i uproszczenie algorytmu.
Podzielenie dwóch wielomianów o ilości składników rzędu \(\displaystyle{ 10^{10}}\) tylko po to, żeby obliczyć asymptotę nie wydaje się dobrym pomysłem.
Wyżej wymienieni profesorowie pewnie się nie zajmowali tym problemem.
Ostatnio zmieniony 14 sty 2020, o 22:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Gotowy wzór na asymptotę ukośną funkcji wymiernej

Post autor: janusz47 »

Gdzie Pan stosuje dzielenie wielomianów o ilości składników rzędu \(\displaystyle{ 10^{10} ? }\)
marek007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 6 sty 2012, o 22:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 5 razy

Re: Gotowy wzór na asymptotę ukośną funkcji wymiernej

Post autor: marek007 »

Ja nigdzie. To hipotetyczny problem, jakich wiele w matematyce.
Nurtował mnie brak takiego wzoru, więc go wyprowadziłem i się tym dzielę.
Szczególnie, że jest wyjątkowo praktyczny.
Może komuś się przyda.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Gotowy wzór na asymptotę ukośną funkcji wymiernej

Post autor: janusz47 »

Nikomu ten wzór nie jest i nie będzie potrzebny. Asymptotę pochyłą wykorzystujemy w praktycznych badaniach przebiegów zmienności procesów
zachodzących na przykład

- w ekonomii - opisanych funkcjami wymiernymi, w których występują wielomiany maksymalnie do stopnia trzeciego i drugiego,

- w fizyce termodynamicznej związków zachodzących między \(\displaystyle{ p, \ \ v, \ \ T }\)- opisanych na przykład równaniem Van der Waalsa,

- w geometrii różniczkowej przy znajdowaniu na przykład ewoluty paraboli \(\displaystyle{ y^2 = 4px.}\)
marek007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 6 sty 2012, o 22:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 5 razy

Re: Gotowy wzór na asymptotę ukośną funkcji wymiernej

Post autor: marek007 »

Właśnie Pan podał zastosowania tego wzoru.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Gotowy wzór na asymptotę ukośną funkcji wymiernej

Post autor: janusz47 »

Podałem przykłady, żeby Panu uzmysłowić , że znajdowanie asymptot pochyłych "hiperwymiernych" funkcji, o ile takie istnieją nie ma zastosowania w praktyce.
marek007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 6 sty 2012, o 22:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 5 razy

Re: Gotowy wzór na asymptotę ukośną funkcji wymiernej

Post autor: marek007 »

Dziękuję.
ODPOWIEDZ