Irytowało mnie wielokrotne dzielenie pisemne wielomianów lub liczenie granic, więc wyprowadziłem sobie gotowy wzór.
Okazał się zaskakująco łatwy i przyjemny w użyciu
Trochę dziwne, że go nie mogę znaleźć w żadnych tablicach, ani w internecie.
W końcu to tylko funkcja wymierna...
Jeśli ktoś znajdzie ten wzór gdzie indziej, to proszę dać w komentarzu linka.
To zaczynamy.
Asymptota ukośna funkcji wymiernej istnieje, gdy stopień wielomianu w liczniku jest o jeden wyższy od tego w mianowniku.
(jeśli będzie trzeba, to uzasadnię to później)
Taka funkcja ma postać ogólną:
\(\displaystyle{ F(x)= \frac{a_{n+1}x^{n+1}+a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}}{c_{n}x^n+c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+...+c_{0}} }\)
Dla ułatwienia zapisu przyjmuję oznaczenia:
\(\displaystyle{ a=a_{n+1}}\)
\(\displaystyle{ b=a_n}\)
\(\displaystyle{ c=c_n}\)
\(\displaystyle{ d=c_{n-1} }\)
Przy tych oznaczeniach funkcja ma postać:
Jeżeli dodatkowo przyjmę, że \(\displaystyle{ c=1}\) oraz \(\displaystyle{ n \ge 1}\),
to asymptota ukośna powyższej funkcji ma wzór:
\(\displaystyle{ y=ax+b-ad}\).
Jest to funkcja liniowa \(\displaystyle{ y=ax+b}\) przesunięta w dół o \(\displaystyle{ ad}\).
Moim zdaniem, przy tak prostym wzorze każda inna metoda jest wyciąganiem armat na komary.
Przykłady użycia powyższego wzoru:
1. Dla funkcji \(\displaystyle{ F(x)= \frac{3x^5+12x^4-2x+6}{x^4+7x^3-1} }\)
asymptota ukośna to \(\displaystyle{ y=3x+12-3 \cdot 7 }\),
czyli \(\displaystyle{ y=3x-9}\).
2. \(\displaystyle{ F(x)= \frac{7x^{15}+12x^{14}-2x+6}{x^{14}-2x^{13}-11} }\)
Asymptota ukośna to \(\displaystyle{ y=7x+12-7 \cdot (-2) }\),
czyli \(\displaystyle{ y=7x+26}\).
3. \(\displaystyle{ F(x)= \frac{3x^3-2x+6}{x^2+4x-1} }\)
Asymptota ukośna to \(\displaystyle{ y=3x+0-3 \cdot 4 }\),
czyli \(\displaystyle{ y=3x-12}\).
4. \(\displaystyle{ F(x)= \frac{-3x^{145}+2x^{144}+56x^{56}-16x^{16}}{x^{144}+x^{100}-345x+1} }\)
Asymptota ukośna to \(\displaystyle{ y=-3x+2-(-3) \cdot 0 }\),
czyli \(\displaystyle{ y=-3x+2}\).
5. Jeżeli \(\displaystyle{ c \ne 1}\)
Wzór asymptoty komplikuje się na tyle, że moim zdaniem niewygodnie się z niego korzysta.
W taki wypadku dla danej funkcji skracam ułamek algebraiczny przez \(\displaystyle{ c}\)
(przy czym skupiam się wyłącznie na pierwszych współczynnikach, bo reszta jest nieistotna dla asymptoty).
\(\displaystyle{ F(x)= \frac{2x^3-5x^2-17x+6}{7x^2-4x+1234} \approx \frac{ \frac{2}{7} x^3- \frac{5}{7} x^2}{x^2- \frac{4}{7} x}}\)
Asymptota ukośna to \(\displaystyle{ y= \frac{2}{7} x- \frac{5}{7}- \frac{2}{7} \cdot (- \frac{4}{7} ) }\),
czyli \(\displaystyle{ y=\frac{2}{7} x-\frac{27}{49} }\).
Skrótowy dowód
Mamy funkcję wymierną
\(\displaystyle{ F(x)= \frac{ax^{n+1}+bx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}}{x^n+dx^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+...+c_{0}} }\)
Po wykonaniu dzielenia pisemnego otrzymujemy
\(\displaystyle{ F(x)= ax+b-ad+R(x) }\), gdzie \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } R(x)=0}\).
Zatem \(\displaystyle{ y=ax+b-ad}\) jest asymptotą ukośną (obustronną) wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=F(x)}\).
c.n.d.