Cześć. Dostałem ostatnio do rozwiązania takie zadanie:
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) dziedziną funkcji
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{3x^2 - 4mx + 5}{(m+2)x^4 + 6(m+2)x^2 + m^2}}\)
jest zbiór liczb rzeczywistych?
Odpowiedź do zadania: \(\displaystyle{ m \in \left\langle -2;0\right\rangle \cup (0, +\infty )}\)
Moje rozwiązanie:
Jeżeli chcemy, aby dziedziną był zbiór liczb rzeczywistych, to interesuje nas tylko funkcja w mianowniku. Jest to równanie dwukwadratowe, więc podstawiam \(\displaystyle{ t = x^2, t \ge 0}\). Ta funkcja nie może mieć miejsc zerowych, więc \(\displaystyle{ \Delta < 0}\). Jeżeli podstawiłem \(\displaystyle{ t = x^2, t \ge 0}\) to również rozwiązania tego równania powinny być dodatnie, czyli \(\displaystyle{ t_1 \cdot t_2 > 0 }\) oraz \(\displaystyle{ t_1 + t_2 > 0}\).
Z warunku \(\displaystyle{ \Delta < 0}\) otrzymuje \(\displaystyle{ m \in (-2, -1,68) \cup (10,68, +\infty) }\)
Z warunku \(\displaystyle{ t_1 \cdot t_2 > 0 }\) otrzymuje \(\displaystyle{ m \in (-2, 0) \cup (0, +\infty) }\)
Z warunku \(\displaystyle{ t_1 + t_2 > 0}\) otrzymuje \(\displaystyle{ m \in \emptyset}\)
Jeżeli wezmę iloczyn otrzymanych przedziałów to dostanę, że nie ma takiego \(\displaystyle{ m}\). Czy mógłby ktoś wskazać błąd w moim rozumowaniu? Z góry bardzo dziękuję Mam nadzieję, że wszystko jest jasno przedstawione. Zadanie z poziomu rozszerzonego z liceum.
Dziedzina funkcji wymiernej z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 2 paź 2017, o 10:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 6 razy
Dziedzina funkcji wymiernej z parametrem
Ostatnio zmieniony 29 paź 2019, o 12:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Dziedzina funkcji wymiernej z parametrem
Podana odpowiedź do zadania jest zła (może zrobiłeś literówkę).
Co do rozwiązania :
1) sprawdzić co będzie gdy \(\displaystyle{ m=-2}\).
2) Mianownik ma nigdy nie być zerem.
Czyli (kwadratowe) po podstawieniu ma nie mieć lub mieć ale tylko ujemne.
Co do rozwiązania :
1) sprawdzić co będzie gdy \(\displaystyle{ m=-2}\).
2) Mianownik ma nigdy nie być zerem.
Czyli (kwadratowe) po podstawieniu ma nie mieć lub mieć ale tylko ujemne.
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Dziedzina funkcji wymiernej z parametrem
Rownanie dwukwadratowe nie ma rozwiązań także wtedy, gdy odpowiadające mu równanie kwadratowe ma ujemne pierwiastki. Tego przypadku nie rozpatrzyłeś
Co to za potwór \(\displaystyle{ m \in (-2, -1,68) \cup (10,68, +\infty)}\) ? Przedział o trzech końcach?. Użycie przecinka jako separatora dziesiętnego powoduje takie dziwności. Zamiast 1.68 napisz dokładną wartość.
Co to za potwór \(\displaystyle{ m \in (-2, -1,68) \cup (10,68, +\infty)}\) ? Przedział o trzech końcach?. Użycie przecinka jako separatora dziesiętnego powoduje takie dziwności. Zamiast 1.68 napisz dokładną wartość.
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 2 paź 2017, o 10:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 6 razy
Re: Dziedzina funkcji wymiernej z parametrem
\(\displaystyle{ m \in \left( -2, \frac{-9+3\sqrt{17}}{-2}\right) \cup \left( \frac{-9-3\sqrt{17}}{-2}, +\infty\right)}\)Co to za potwór \(\displaystyle{ m \in (-2, -1,68) \cup (10,68, +\infty)}\) ? Przedział o trzech końcach?. Użycie przecinka jako separatora dziesiętnego powoduje takie dziwności. Zamiast 1.68 napisz dokładną wartość.
Wydaje mi się, że to wina literówki: \(\displaystyle{ m \in \langle-2;0) \cup (0, +\infty )}\)Podana odpowiedź do zadania jest zła (może zrobiłeś literówkę).
Jeżeli \(\displaystyle{ m=-2}\) to w mianowniku otrzymam 4. W takim razie \(\displaystyle{ m=-2}\) spełnia warunki zadania (dziedzina będzie należeć do liczb rzeczywistych).
Co do rozwiązania :
1) sprawdzić co będzie gdy \(\displaystyle{ m=-2}\).
W takim razie muszę rozpatrzyć jeszcze przypadek, gdy \(\displaystyle{ \Delta > 0, t_1 \cdot t_2 >0, t_1 + t_2 < 0}\).2) Mianownik ma nigdy nie być zerem.
Czyli (kwadratowe) po podstawieniu ma nie mieć lub mieć ale tylko ujemne.
Z tych warunków iloczyn ich da mi przedział \(\displaystyle{ m \in \left( \frac{-9+3\sqrt{17}}{-2}, 0\right) \cup \left( 0,\frac{-9-3\sqrt{17}}{-2}\right).}\)
Jak wezmę sumę wszystkich trzech przypadków (tego powyżej, \(\displaystyle{ m=-2}\) oraz tego z pierwszego postu - \(\displaystyle{ \Delta < 0, t_1 \cdot t_2 >0, t_1 + t_2 > 0}\)) to cały czas mi się nie będzie zgadzać rozwiązanie. Brakuje jeszcze jakieś warunku?
Ostatnio zmieniony 29 paź 2019, o 18:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Dziedzina funkcji wymiernej z parametrem
Napisałem co masz zrobić bo w pierwszym poście masz źle.
Nie możesz badać warunków na dodatnie rozwiązania kwadratowego.
Nie możesz badać warunków na dodatnie rozwiązania kwadratowego.