Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) dziedziną funkcji
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{3x^2 - 4mx + 5}{(m+2)x^4 + 6(m+2)x^2 + m^2}}\)
jest zbiór liczb rzeczywistych?
Odpowiedź do zadania: \(\displaystyle{ m \in \left\langle -2;0\right\rangle \cup (0, +\infty )}\)
Moje rozwiązanie:
Jeżeli chcemy, aby dziedziną był zbiór liczb rzeczywistych, to interesuje nas tylko funkcja w mianowniku. Jest to równanie dwukwadratowe, więc podstawiam \(\displaystyle{ t = x^2, t \ge 0}\). Ta funkcja nie może mieć miejsc zerowych, więc \(\displaystyle{ \Delta < 0}\). Jeżeli podstawiłem \(\displaystyle{ t = x^2, t \ge 0}\) to również rozwiązania tego równania powinny być dodatnie, czyli \(\displaystyle{ t_1 \cdot t_2 > 0 }\) oraz \(\displaystyle{ t_1 + t_2 > 0}\).
Z warunku \(\displaystyle{ \Delta < 0}\) otrzymuje \(\displaystyle{ m \in (-2, -1,68) \cup (10,68, +\infty) }\)
Z warunku \(\displaystyle{ t_1 \cdot t_2 > 0 }\) otrzymuje \(\displaystyle{ m \in (-2, 0) \cup (0, +\infty) }\)
Z warunku \(\displaystyle{ t_1 + t_2 > 0}\) otrzymuje \(\displaystyle{ m \in \emptyset}\)
Jeżeli wezmę iloczyn otrzymanych przedziałów to dostanę, że nie ma takiego \(\displaystyle{ m}\). Czy mógłby ktoś wskazać błąd w moim rozumowaniu? Z góry bardzo dziękuję
Mam nadzieję, że wszystko jest jasno przedstawione. Zadanie z poziomu rozszerzonego z liceum.