Monotoniczność funkcji wymiernej, a wyznaczniki

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Monotoniczność funkcji wymiernej, a wyznaczniki

Post autor: 41421356 »

Witam, badając monotoniczność funkcji

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{Ax+B}{Cx+D}}\)

Badam znak wyrażenia

\(\displaystyle{ AD-BC}\)

Wygląda to jak wyznacznik główny dla liniowego układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Czy da się to w jakiś sposób sensownie powiązać? Sama homografia jest już ilorazem dwóch wyrażeń liniowych.
Ostatnio zmieniony 3 sie 2019, o 22:43 przez 41421356, łącznie zmieniany 1 raz.
szw1710

Re: Monotoniczność funkcji wymierne, a wyznaczniki

Post autor: szw1710 »

Owszem. Aby \(\displaystyle{ f}\) była homografią, wektory \(\displaystyle{ [A,B]}\) i \(\displaystyle{ [C,D]}\) nie mogą być proporcjonalne. Analitycznie oznacza to ni mniej, ni więcej jak niezerowość tego wyznacznika.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Monotoniczność funkcji wymierne, a wyznaczniki

Post autor: 41421356 »

Mi chodzi nie tyle o samą określoność a monotoniczność na przedziałach. Gdy \(\displaystyle{ AD-BC>0}\) to wówczas homografia jest przedziałami rosnąca, tj wartość pewnego wyznacznika jest dodania.
szw1710

Re: Monotoniczność funkcji wymierne, a wyznaczniki

Post autor: szw1710 »

Jest tak dlatego, że \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{AD-BC}{(Cx+D)^2}.}\) To była pierwsza wersja mojej odpowiedzi na Twoje pytanie - uznałem, że to nie na temat, skoro piszesz o badaniu monotoniczności wyznacznikiem. Skasowałem ją i napisałem o wektorach.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Monotoniczność funkcji wymiernej, a wyznaczniki

Post autor: 41421356 »

Ja wiem dlaczego tak jest i wersję z pochodną też rozumiem i znam. W całym tym wątku chodzi mi tutaj o metodę z wyznacznikiem. Czy da się tutaj jakoś użycie wyznacznioków uzasadnić?
szw1710

Re: Monotoniczność funkcji wymiernej, a wyznaczniki

Post autor: szw1710 »

Nie wiem czy nie doszukujesz się tu nadmiernej ideologii. Mam tu na myśli coś w rodzaju związku pola koła z obwodem: obwód jest pochodną pola (po promieniu). Jak to uzasadnić? Matematycy nie znają rozsądnego argumentu.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Monotoniczność funkcji wymiernej, a wyznaczniki

Post autor: 41421356 »

Dziękuję za odpowiedź i konstruktywną dyskusję.
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Monotoniczność funkcji wymiernej, a wyznaczniki

Post autor: Gosda »

Matematycy znają rozsądny argument
Ukryta treść:    
Aczkolwiek w tym przypadku zgadzam się, że bardzo głębokiego związku między funkcją wymierną i wyznacznikiem nie ma. Zerknij na

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Mobius_transformation
, ze szczególną uwagą na wszystkie wystąpienia wyrażenia "representing matrix".
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Monotoniczność funkcji wymiernej, a wyznaczniki

Post autor: Janusz Tracz »

Na forum też można coś o tym znaleźć Związek między objętością kuli i polem sfery
ODPOWIEDZ