monotoniczność funkcji wymiernej

[Jmoriarty]

Mam funkcję określoną wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x ^{2}-4 }{x}}\), dla \(\displaystyle{ x \in \RR-\left\{ 0\right\}}\).
Funkcja:
\(\displaystyle{ a)}\) jest rosnąca w \(\displaystyle{ \RR-\left\{ 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ b)}\) nie posiada ekstremów lokalnych

Wiem, że \(\displaystyle{ b)}\) będzie na pewno poprawną odpowiedzią, ponieważ pochodna tej funkcji, \(\displaystyle{ f'(x)
= \frac{x ^{2}+4 }{x ^{2} }}\), nie posiada miejsc zerowych. Jednak dlaczego \(\displaystyle{ a)}\) nie jest poprawną odpowiedzią, skoro \(\displaystyle{ f'(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR-\left\{0 \right\}}\)?

[Belf]

Bo funkcja jest rosnąca w przedziałch : \(\displaystyle{ (- \infty ,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,+ \infty)}\), a nie w calej dziedzinie. To wynika z definicji monotoniczności funkcji. Zauważ,że biorąc pod uwagę całą dziedzine, znajdziesz takie dwa argumenty,że mniejszemu argumentowi odpowiada wieksza wartośc funkcji,ale w każdym z podanych przedziałów , juz nie znajdziesz.

np.\(\displaystyle{ f(-1) = 3 > f(1) = - 3}\)

[Jmoriarty]

Rozumiem i tak pomyślałem, ale później się zorientowałem, że przecież zwykła funkcja homograficzna (\(\displaystyle{ \frac{a}{x}}\)) jest określana jako rosnąca w przedziałach \(\displaystyle{ \left( - \infty ;0\right) \cup \left( 0;+ \infty \right)}\), a więc ta też powinna. Czy popełniam jakiś błąd myślowy?

Edit: zrozumiałem. Dziękuję bardzo.

[Belf]

Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{a}{x}}\) jest faktycznie monotoniczna w podanych przez Ciebie przedziałach, ale nie w całej dziedzinie ,a znak stałej \(\displaystyle{ a}\) decyduje, czy jest rosnaca, czy malejąca.
Jeszce raz. Funkcja z Twojego zadania jest rosnąca, ale w przedziałach, a nie w całej dziedzinie.

[piasek101]

funkcja homograficzna (\(\displaystyle{ \frac{a}{x}}\)) jest określana jako rosnąca w przedziałach \(\displaystyle{ \left( - \infty ;0\right) \red \cup \black \left( 0;+ \infty \right)}\)...

Już wiesz, ale takiego zapisu nie używaj (chodzi o czerwone lub) - pisz tak jak w pierwszej podpowiedzi.

[Dilectus]

Jmoriarty, warto zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x ^{2}-4 }{x}}\) jest nieparzysta, a wobec tego jej wykres jest symetryczny wzgl. środka układu współrzędnych. To spostrzeżenie upraszcza badanie funkcji, bo można ją badać w połowie dziedziny. -- 18 kwi 2019, o 23:01 --P.S. Sprawdź asymptoty ukośne.