dowód wartości maksymalnej i minimalnej

[july04]

Nie wiem jak udowodnić że wartośc minimalna wynosi 2 a największa 4 nastepującej funkcji

\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}}\)

[piasek101]

Pochodne były ?

[edit] Jak były to szukać zbioru wartości stosując pochodną.

Jak nie to sprawdzić dla jakich (a) istnieje rozwiązanie równania :
\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}=a}\)

[Dilectus]

Trzeba zbadać ekstrema tej funkcji, monotoniczność i granice na krańcach przedziałów określoności.

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}}\)

Zacznijmy od dziedziny - jest nią zbiór liczb rzeczywistych.

Granice:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) =......}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to - \infty} f(x) =......}\)

Teraz ekstrema - to punkty, w których pierwsza pochodna zmienia znak.

A więc liczysz:

\(\displaystyle{ f'(x)=....}\)

Przyrównujesz ją do zera:

\(\displaystyle{ f'(x)= 0 \Leftrightarrow x=......}\)

Pamiętaj też, że funkcja jest rosnąca tam, gdzie jej pierwsza pochodna jest dodatnia, a maleje tam, gdzie jest ona ujemna.

Przedstaw swoje obliczenia.

[july04]

To zadanie z 1 klasy liceum- za wcześnie na pochodne. Szukam własnie bardziej algebraicznej metody.

[Premislav]

\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}=3+\frac{2x}{x^2+1}}\)
i teraz udowodnij, że
\(\displaystyle{ -1\le \frac{2x}{x^2+1}\le 1}\), mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ x^2+1}\), przenosząc na jedną stronę i zwijając do kwadratu różnicy czy tam sumy ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 / a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}\).
Równość w nierówności z lewej zachodzi dla \(\displaystyle{ x=-1}\), a w tej nierówności z prawej dla \(\displaystyle{ x=1}\), to tak kontrolnie.

[VirtualUser]

Dodam od siebie, że \(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}=3+\frac{2x}{x^2+1}}\) wynika z tego, że:
\(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}= \frac{3(x^{2}+1)+2x}{x^{2}+1} = \frac{3(x^{2}+1)}{x^{2}+1} + \frac{2x}{x^{2}+1}= 3+\frac{2x}{x^2+1}}\) bo nie zawsze przykłady są takie, że od razu widać jak poszachermacherować te ułamki by można się pozbyć pewnych elementów

[arek1357]

Nie wiem ale z całym szacunkiem strasznie komplikujecie mnie uczyli, że wystarczy zapisać:

\(\displaystyle{ \frac{3x^2+2x+3}{x^2+1} \ge 2}\)

po wymnożeniu przez mianownik a można bo większy od zera i skróceniu mamy:

\(\displaystyle{ (x+1)^2 \ge 0}\)

co jest prawdą, wystarczy tylko wskazać liczbę \(\displaystyle{ x=-1}\) gdzie wartość osiąga zero i po sprawie.

Podobnie drugi przypadek:

\(\displaystyle{ \frac{3x^2+2x+3}{x^2+1} \le 4}\)

otrzyma:

\(\displaystyle{ (x-1)^2 \ge 4}\)

co jest prawdą i zeruje się dla.: \(\displaystyle{ x=1}\)

czyli osiąga extremum...

Jeżeli pokaże Pani swojej takie rozwiązanie na pewno dostanie piątkę i pochwałę...

Wszystkie inne rozwiązania będą świadczyły, że nie są samodzielne i może zostać upomniany a nawet znieważony...

Z całym szacunkiem ...

[Premislav]

Przecież to na jedno wychodzi… Komplikowanie sprawy to wcześniej sugerowane użycie pochodnej.