Punkt styczności, wykres funkcji

[Fry]

1. Wyznacz współrzędne punktu na wykresie funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{2x+5}{x+2}}\) tak, aby styczna \(\displaystyle{ k}\) poprowadzona do wykresu w tym punkcie była prostopadła do prostej \(\displaystyle{ l}\) o równaniu \(\displaystyle{ 9x-y-7=0}\).

2. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{2} }{x-4} + \frac{ x^{3}}{(x-4)^2}}\) itp tak dalej.

narysuj wykres.
Tego też nie rozumiem
Ma ktoś odpowiedzi do tej matury rozszerzonej z operonu z marca 2018?

[Zymon]

\(\displaystyle{ x \neq -2}\)

\(\displaystyle{ l: y=9x - 7}\)
Przechodzę na postać kierunkową bo taką osobiście preferuję, korzystam z warunku prostopadłości prostych
\(\displaystyle{ a _{1} \cdot a _{2} = -1 \\
k: y = - \frac{1}{9}+b}\)
Jak wiemy z geometrycznej interpretacji pochodnej funkcji w punkcie jest to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Oznaczmy szukany punkty \(\displaystyle{ P \left( x _{s}, y _{s} \right)}\)

\(\displaystyle{ f' \left( x _{s} \right) = -\frac{1}{9} \\
f' \left( x \right) = \frac{2x+4-2x-5}{ \left( x+2 \right) ^{2}}= -\frac{1}{ \left( x+2 \right) ^{2}} \ \ \ \ \ x \neq -2 \\
-\frac{1}{ \left( x_{s}+2 \right) ^{2}}=- \frac{1}{9} \\
x_{s}+2=3 \lor x_{s}+2=-3 \\
x_{s}=1 \lor x_{s}=-5}\)
szukane współrzędne to \(\displaystyle{ \left( 1, \frac{7}{3} \right)}\) lub \(\displaystyle{ \left( -5, \frac{5}{3} \right)}\)

W drugim zadaniu skorzystaj z wzoru na sumę szeregu geometrycznego. Nie zapomnij o dziedzinie.