Jak rozwiązać układ 12 równań nieliniowych (ale wymiernych)?

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Borneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 247
Rejestracja: 23 lip 2010, o 07:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: geo:lat=0 geo:lon=0
Podziękował: 13 razy

Jak rozwiązać układ 12 równań nieliniowych (ale wymiernych)?

Post autor: Borneq »

Układ równań nie dwóch czy trzech zmiennych ale dwunastu. Powstaje poprzez nieafiniczne przekształcenie punktu z \(\displaystyle{ \RR^2}\) w punkt z \(\displaystyle{ \RR^2}\). Tymczasem liczba czynników jest już \(\displaystyle{ 12}\), bo dla \(\displaystyle{ (a_x,a_y) \rightarrow (b_x,b_y)}\) mamy:

\(\displaystyle{ b_{x_1} = \frac{m_1 \cdot a_{x_1}+m_2 \cdot a_{y_1}+m_3}{m_4 \cdot a_{x_1}+m_5 \cdot a_{y_1}+m_6} \\\\
b_{y_1} = \frac{m_7 \cdot a_{x_1}+m_8 \cdot a_{y_1}+m_9}{m_{10} \cdot a_{x_1}+m_{11} \cdot a_{y_1}+m_{12}}}\)


Potrzeba sześciu punktów, choć chętnie bym tu zastosował dopasowanie do większej ilości punktów z minimalizacją błędu średniokwadratowego. Ale przynajmniej dla \(\displaystyle{ 6}\) punktów, układ \(\displaystyle{ 12}\) równań z \(\displaystyle{ 12}\) niewiadomymi, metoda Hooke’a-Jeevesa, albo Brenta ? Ale tutaj szukam nie minimum funkcji ale jej zer. Metoda Newtona \(\displaystyle{ 12}\)-wymiarowa, ale jaki punkt startowy aby nie wypadła poza zakres? A może algorytmy genetyczne?

Wiem - metoda Newtona-Raphsona. Punkt startowy: (1,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,1) czyli przekształcenie identyczność, zwłaszcza w wyrażeniu w mianowniku wyrazy przy x i y powinny być bardzo małe w porównaniu z wyrazem wolnym. Jak sprawdzić czy metoda wyleciała poza zakres, aby przerwać pracę?
Ostatnio zmieniony 12 mar 2018, o 12:43 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
ODPOWIEDZ