O czym decydują asymptoty?

[ramefn]

O czym decyduje asymptoty pionowa i kiedy taką otrzymam?
O czym decyduje pozioma? (wpływa na zbiór argumentów, tak?)

[piasek101]

Nie bardzo można odpowiedzieć (wg mnie) na tak postawione pytania.

Asymptoty o niczym nie decydują.
To w zasadzie funkcje decydują o asymptotach.

1) Pionowe - jednostronne (prawo,lewo), obustronne.
Popatrz na przykłady - wykresy funkcji wraz z asymptotami - i pytaj.

[ramefn]

Czy asymptoty (te pionowe jak i poziome) ograniczają w jakiś sposób zbiór wartości bądź dziedzine?

[a4karo]

Nie

[cegielnik]

Asymptoty możemy podzielić z grubsza pionowe, poziome i ukośne.
Asymptoty nie decydują o niczym. Ich istnienie zależy od funkcji. Po prostu są funkcje które mają asymptoty i takie które ich nie mają.

Dla przykładu:
asymptotę pionową o równaniu x=0 ma funkcja
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x}}\)
łatwo zauważyć że istnienie tej asymptoty jest wynikiem tego że 0 nie należy do dziedziny tej funkcji, ale też tego, że funkcja ta ma w zerze granicę niewłaściwe.
Intuicyjnie asymptotę rozumiemy tak że "wykres funkcji zbliża się nieustannie do pewnej prostej, której nie przekroczy"

asymptotę poziomą y=1 ma funkcja \(\displaystyle{ f(x)=e^{-x} +1}\)

Podsumowując: tak
Jeżeli masz asymptotę pionową x=0 to ta asymptota wpływa na dziedzinę
Jeżeli masz asymptotę y=1 to ta asymptota wpływa na zbiór wartości

Ale chodzi jeszcze o samą treść postawionego pytania. Jest po prostu tak że to funkcja wymusza istnienie asymptot, po prostu zachowuje się w taki sposób jak się zachowuje. Dlategonie ma sensu mówić, że asymptota na coś wpływa, bo to funkcja determinuje jej istnienie i równanie, a nie odwrotnie.

[PoweredDragon]

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{x}, x<0\\ 0, x \ge 0\end{cases}}\) ma asymptotę pionową, ktora nie wpływa na dziedzinę i zbiór wartości. Tak samo \(\displaystyle{ f(x)=\frac{\ln x}{x}}\) ma asymptotę poziomą

[a4karo]

Asymptoty możemy podzielić z grubsza pionowe, poziome i ukośne.
Asymptoty nie decydują o niczym. Ich istnienie zależy od funkcji. Po prostu są funkcje które mają asymptoty i takie które ich nie mają.

Raczej nie z grubsza, tylko po prostu na te trzy kategorie, choc asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej.

Dla przykładu:
asymptotę pionową o równaniu x=0 ma funkcja
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x}}\)
łatwo zauważyć że istnienie tej asymptoty jest wynikiem tego że 0 nie należy do dziedziny tej funkcji, ale też tego, że funkcja ta ma w zerze granicę niewłaściwe.

To stwierdzenie nie jest prawdziwe: funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}& x\neq 0\\ 5& x=0\end{cases}}\) jest określona dla wszystkich argumentów rzeczywistych i ma asymptotę pionową w zerze.

Intuicyjnie asymptotę rozumiemy tak że "wykres funkcji zbliża się nieustannie do pewnej prostej, której nie przekroczy"

I to jest bardzo niedobra intuicja: funkcja \(\displaystyle{ \frac{x^2+\sin x}{|x|}}\) ma asymptoty ukośne zarówno w plus jak i minus nieskończoności i każdą z nich przecina nieskończenie wiele razy.

A funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x}\) sama jest swoją asymptotą i "przekracza się" w każdym punkcie

asymptotę poziomą y=1 ma funkcja \(\displaystyle{ f(x)=e^{-x} +1}\)

Podsumowując: tak
Jeżeli masz asymptotę pionową x=0 to ta asymptota wpływa na dziedzinę
Jeżeli masz asymptotę y=1 to ta asymptota wpływa na zbiór wartości

Ale chodzi jeszcze o samą treść postawionego pytania. Jest po prostu tak że to funkcja wymusza istnienie asymptot, po prostu zachowuje się w taki sposób jak się zachowuje. Dlatego nie ma sensu mówić, że asymptota na coś wpływa, bo to funkcja determinuje jej istnienie i równanie, a nie odwrotnie.

A te dwa stwierdzenia sobie wzajemnie przeczą