Zadanie z funkcji homograficznej

[szczepanik89]

Zadanie
funkcja homograficzna f jest okreslona wzoremm \(\displaystyle{ f(x)=\frac{px-3}{x-p}}\) gdzie p nalezy do zbioru liczb rzeczywistych i \(\displaystyle{ |p| \sqrt{3}}\)
a) dla p=1 zapisz wzor funkcji w postaci \(\displaystyle{ f(x)=k+ \frac{m}{x-1}}\) gdzie k i m naleza do zbioru liczb rzeczywistych
b) wyznacz wszystkie wartosci parametru p dla ktorych w przedziale (p , +oo ) funkcja f jest malejaca.

a wiec tak co do podpunktu a zrobilem cos takiego:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x-3}{x-1}=\frac{x-1-2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1} - \frac{2}{x-1}= 1 - \frac{2}{x-1}}\)
wiec k=1 i m =-2

prosze sprawdzcie to i bardzo prosze o podpowiedz co do punktu b bo nie mam pojecia jak to zrobic

[Tristan]

Podpunkt a) rozwiązałeś poprawnie. Co do podpunktu b:
Zakładamy, że \(\displaystyle{ x_{1} >x_{2} >p}\). Z treści zadania wynika, że ma zachodzić nierówność \(\displaystyle{ f(x_{1})0 ; x_{2} - p>0 ; x_{1} - x_{2} >0}\).

[szczepanik89]

nie mam pojecia jak to zrobic ten b podpunkt twoje wskazowki nic mi nie pomogly a znam definicje funkcji malejacej i rosnacej ale co z tego

[Tristan]

Przy warunku \(\displaystyle{ x_{1} >x_{2} >p}\) ma zachodzić \(\displaystyle{ f(x_{1}) < f(x_{2})}\). Mamy więc:
\(\displaystyle{ \frac{ px_{1} -3 }{x_{1} - p} < \frac{ px_{2} - 3}{ x_{2} - p}}\)
Korzystając z faktu, że \(\displaystyle{ x_{1} - p>0, x_{2} - p>0}\) możemy pomnożyć przez te mianowniki. Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (px_{1} - 3)( x_{2} - p) < ( px_{2} - 3)( x_{1} - p) \\ px_{1} x_{2} - p^2 x_{1} - 3x_{2} +3p < px_{2} x_{1} - p^2 x_{2} - 3x_{1} +3p \\ -p^2 x_{1} - 3x_{2} < -p^2 x_{2} - 3x_{1} \\ -p^2 (x_{1} -x_{2} ) - 3(x_{2} - x_{1}) ( - ; -\sqrt{3} ) \cup ( \sqrt{3}; )}\)

[Jestemfajny]

Zadanie z matury próbnej ostatniej.
... _oc_pr.pdf

tutaj masz 3 sposoby na rozwiąznie opisane w razie jakichs wątpliwości jeszcze.