Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze
-
- Użytkownik
- Posty: 539
- Rejestracja: 6 maja 2016, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowieckie
- Podziękował: 191 razy
- Pomógł: 1 raz
Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze
1. Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze zachodzi równość (dla tych wszystkich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), dla których wyrażenia mają sens liczbowy) \(\displaystyle{ \frac{a(a+3b)^{2}- a( a^{2}+ 11b^{2}) }{12ab^{2}- 4b^{3} }= \frac{a}{2b}}\)
2. Wykaż, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) są różne od \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq b, b \neq c, c \neq a}\), to
\(\displaystyle{ \frac{1}{a(a-b)(a-c)}+ \frac{1}{b(b-a)(b-c)}+ \frac{1}{c(c-a)(c-b)}= \frac{1}{abc}.}\)
3. Dane jest równanie \(\displaystyle{ \frac{ x^{2}+1 }{a ^{2}x-2a }- \frac{1}{2-ax}= \frac{x}{a}}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\). Zbadaj dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) równanie
a) ma dwa różne pierwiastki
b) ma jeden pierwiastek
Proszę o rozwiązanie tych zadań Z góry dziękuje
2. Wykaż, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) są różne od \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq b, b \neq c, c \neq a}\), to
\(\displaystyle{ \frac{1}{a(a-b)(a-c)}+ \frac{1}{b(b-a)(b-c)}+ \frac{1}{c(c-a)(c-b)}= \frac{1}{abc}.}\)
3. Dane jest równanie \(\displaystyle{ \frac{ x^{2}+1 }{a ^{2}x-2a }- \frac{1}{2-ax}= \frac{x}{a}}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\). Zbadaj dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) równanie
a) ma dwa różne pierwiastki
b) ma jeden pierwiastek
Proszę o rozwiązanie tych zadań Z góry dziękuje
Ostatnio zmieniony 7 lut 2020, o 16:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze
2. Rozpatrzmy wielomian
\(\displaystyle{ W(a)=(a-b)(a-c)(b-c)-bc(b-c)+ac(a-c)-ab(a-b)}\)
przy ustalonych \(\displaystyle{ b,c}\) (\(\displaystyle{ b \neq c}\)). Jest to funkcja wielomianowa zmiennej \(\displaystyle{ a}\) drugiego stopnia,
która ma co najmniej trzy miejsca zerowe:
\(\displaystyle{ a_1=b, a_2=c, a_3=0}\)
Zatem jest ona tożsamościowo równa zeru. Przy założeniu (powinienem je napisać na początku, bo inaczej uwaga o co najmniej trzech pierwiastkach nie działa ) \(\displaystyle{ a\neq b \wedge a \neq c \wedge abc \neq 0}\) wywnioskuj stąd na drodze przekształceń algebraicznych tezę zadania.
-- 23 cze 2016, o 20:19 --
Mam nadzieję, że nie dostanę w mordę za to utożsamienie wielomianu z funkcją wielomianową; raczej wiadomo, o co mi chodzi.-- 23 cze 2016, o 20:25 --Czyli na początku powinienem założyć, że \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) to różne stałe i żadna z nich nie jest zerem. Bo bez tego założenia to słabo: np. pierwiastki \(\displaystyle{ 0,0,1}\) to nie są trzy różne pierwiastki...
\(\displaystyle{ W(a)=(a-b)(a-c)(b-c)-bc(b-c)+ac(a-c)-ab(a-b)}\)
przy ustalonych \(\displaystyle{ b,c}\) (\(\displaystyle{ b \neq c}\)). Jest to funkcja wielomianowa zmiennej \(\displaystyle{ a}\) drugiego stopnia,
która ma co najmniej trzy miejsca zerowe:
\(\displaystyle{ a_1=b, a_2=c, a_3=0}\)
Zatem jest ona tożsamościowo równa zeru. Przy założeniu (powinienem je napisać na początku, bo inaczej uwaga o co najmniej trzech pierwiastkach nie działa ) \(\displaystyle{ a\neq b \wedge a \neq c \wedge abc \neq 0}\) wywnioskuj stąd na drodze przekształceń algebraicznych tezę zadania.
-- 23 cze 2016, o 20:19 --
Mam nadzieję, że nie dostanę w mordę za to utożsamienie wielomianu z funkcją wielomianową; raczej wiadomo, o co mi chodzi.-- 23 cze 2016, o 20:25 --Czyli na początku powinienem założyć, że \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) to różne stałe i żadna z nich nie jest zerem. Bo bez tego założenia to słabo: np. pierwiastki \(\displaystyle{ 0,0,1}\) to nie są trzy różne pierwiastki...
-
- Użytkownik
- Posty: 539
- Rejestracja: 6 maja 2016, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowieckie
- Podziękował: 191 razy
- Pomógł: 1 raz
Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze
Nie mam pojęcia jak zabrać się za 2 i 3 zadanie.a4karo pisze:No way. Pokaż jak rozwiązujesz, jak napotkasz trudny moment, to pomożemy.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze
Napisałem Ci więcej niż połowę rozwiązania zadania drugiego.
Z tego, co napisałem, wynika, że dla dowolnie ustalonych niezerowych \(\displaystyle{ b \neq c}\)
i dla wszystkich \(\displaystyle{ a}\) rzeczywistych mamy
\(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(b-c)-bc(b-c)+ac(a-c)-ab(a-b)=0}\)
W szczególności jest więc tak, gdy również \(\displaystyle{ a\neq 0 \wedge a \neq b \wedge a \neq c}\).
Zaś dla takich \(\displaystyle{ a}\) możesz wykonać przekształcenia algebraiczne, które doprowadzą Cię do tezy. Przenosisz \(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(b-c)}\) na drugą stronę, dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ abc(a-b)(a-c)(b-c)}\) i masz tezę.
-- 23 cze 2016, o 20:56 --
A w zadaniu trzecim najpierw dziedzina, a potem wymnóż stronami przez \(\displaystyle{ a^2x-2a.}\). Dostaniesz równanie kwadratowe z parametrem, poziom pierwszej klasy szkoły średniej.
Z tego, co napisałem, wynika, że dla dowolnie ustalonych niezerowych \(\displaystyle{ b \neq c}\)
i dla wszystkich \(\displaystyle{ a}\) rzeczywistych mamy
\(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(b-c)-bc(b-c)+ac(a-c)-ab(a-b)=0}\)
W szczególności jest więc tak, gdy również \(\displaystyle{ a\neq 0 \wedge a \neq b \wedge a \neq c}\).
Zaś dla takich \(\displaystyle{ a}\) możesz wykonać przekształcenia algebraiczne, które doprowadzą Cię do tezy. Przenosisz \(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(b-c)}\) na drugą stronę, dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ abc(a-b)(a-c)(b-c)}\) i masz tezę.
-- 23 cze 2016, o 20:56 --
A w zadaniu trzecim najpierw dziedzina, a potem wymnóż stronami przez \(\displaystyle{ a^2x-2a.}\). Dostaniesz równanie kwadratowe z parametrem, poziom pierwszej klasy szkoły średniej.
-
- Użytkownik
- Posty: 539
- Rejestracja: 6 maja 2016, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowieckie
- Podziękował: 191 razy
- Pomógł: 1 raz
Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze
W pierwszej klasie nie ma równań kwadratowych..Premislav pisze:Napisałem Ci więcej niż połowę rozwiązania zadania drugiego.
Z tego, co napisałem, wynika, że dla dowolnie ustalonych niezerowych \(\displaystyle{ b \neq c}\)
i dla wszystkich \(\displaystyle{ a}\) rzeczywistych mamy
\(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(b-c)-bc(b-c)+ac(a-c)-ab(a-b)=0}\)
W szczególności jest więc tak, gdy również \(\displaystyle{ a\neq 0 \wedge a \neq b \wedge a \neq c}\).
Zaś dla takich \(\displaystyle{ a}\) możesz wykonać przekształcenia algebraiczne, które doprowadzą Cię do tezy. Przenosisz \(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(b-c)}\) na drugą stronę, dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ abc(a-b)(a-c)(b-c)}\) i masz tezę.
-- 23 cze 2016, o 20:56 --
A w zadaniu trzecim najpierw dziedzina, a potem wymnóż stronami przez \(\displaystyle{ a^2x-2a.}\). Dostaniesz równanie kwadratowe z parametrem, poziom pierwszej klasy szkoły średniej.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze
No to znowu bez mojego zezwolenia zmieniono program... Ja miałem w pierwszej, czyli każdy powinien mieć nie później niż w pierwszej. Może tamten komentarz był niepotrzebny, przepraszam za niego, bo mógł zabrzmieć jak próba szyderstwa lub wywyższenia się. Niemniej jednak równanie kwadratowe z parametrem, jakie otrzymasz po skorzystaniu z tego, co napisałem, nie powinno Ci sprawić problemów. Liczysz wyróżnik trójmianu, sprawdzasz dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) jest on dodatni (wtedy są dwa różne rozwiązania), a dla jakich jest zerowy (wtedy jest jedno rozwiązanie, choć jeszcze można to interpretować jako co najmniej jedno, a nie dokładnie jedno - wtedy sprawdzałbyś, kiedy wyróżnik jest nieujemny). Trzeba tylko jeszcze pamiętać o dziedzinie, którą na początku określiłeś.
-
- Użytkownik
- Posty: 539
- Rejestracja: 6 maja 2016, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowieckie
- Podziękował: 191 razy
- Pomógł: 1 raz
Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze
Ok. A zadanie 1?Premislav pisze:No to znowu bez mojego zezwolenia zmieniono program... Ja miałem w pierwszej, czyli każdy powinien mieć nie później niż w pierwszej. Może tamten komentarz był niepotrzebny, przepraszam za niego, bo mógł zabrzmieć jak próba szyderstwa lub wywyższenia się. Niemniej jednak równanie kwadratowe z parametrem, jakie otrzymasz po skorzystaniu z tego, co napisałem, nie powinno Ci sprawić problemów. Liczysz wyróżnik trójmianu, sprawdzasz dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) jest on dodatni (wtedy są dwa różne rozwiązania), a dla jakich jest zerowy (wtedy jest jedno rozwiązanie, choć jeszcze można to interpretować jako co najmniej jedno, a nie dokładnie jedno - wtedy sprawdzałbyś, kiedy wyróżnik jest nieujemny). Trzeba tylko jeszcze pamiętać o dziedzinie, którą na początku określiłeś.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze
Mianownik lewej strony przedstaw w postaci
\(\displaystyle{ 2b(6ab-2b^2)}\)
W liczniku wyłącz przed wszystko \(\displaystyle{ a}\), zaś następnie skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy (do tego \(\displaystyle{ (a+3b)^2}\)) i uprość co się da.
Powinieneś dojść do tego, że licznik ma postać \(\displaystyle{ a(6ab-2b^2)}\).
\(\displaystyle{ 2b(6ab-2b^2)}\)
W liczniku wyłącz przed wszystko \(\displaystyle{ a}\), zaś następnie skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy (do tego \(\displaystyle{ (a+3b)^2}\)) i uprość co się da.
Powinieneś dojść do tego, że licznik ma postać \(\displaystyle{ a(6ab-2b^2)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 539
- Rejestracja: 6 maja 2016, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowieckie
- Podziękował: 191 razy
- Pomógł: 1 raz
Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze
W 3 zadaniu jak rozwiązać \(\displaystyle{ a^{2}x-2a}\) oraz \(\displaystyle{ 2-ax}\) aby ustalić dziedzine w zależności od a?Premislav pisze:Mianownik lewej strony przedstaw w postaci
\(\displaystyle{ 2b(6ab-2b^2)}\)
W liczniku wyłącz przed wszystko \(\displaystyle{ a}\), zaś następnie skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy (do tego \(\displaystyle{ (a+3b)^2}\)) i uprość co się da.
Powinieneś dojść do tego, że licznik ma postać \(\displaystyle{ a(6ab-2b^2)}\).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze
Po pierwsze zauważ, że \(\displaystyle{ a^2x-2a=-a(2-ax)}\), więc wystarczy, że rozwiążesz równanie
\(\displaystyle{ a^2x-2a=0}\). Z tego wychodzi (bo chcemy, żeby ta równość nie zachodziła - zerowe mianowniki...) \(\displaystyle{ a\neq 0 \wedge x \neq \frac{2}{a}}\).
\(\displaystyle{ a^2x-2a=0}\). Z tego wychodzi (bo chcemy, żeby ta równość nie zachodziła - zerowe mianowniki...) \(\displaystyle{ a\neq 0 \wedge x \neq \frac{2}{a}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 27 sty 2020, o 11:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 23
- Podziękował: 4 razy
Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze
Pytanie co do pierwszego polecenia - "wykaż ze zachodzi równość (dla tych wszystkich a i b, dla których wyrażenia mają sens liczbowy)", czy to oznacza, że wystarczy samo przejście z lewej strony równania do prawej i nie trzeba pisać dla jakich a i b ma to sens (na tyle na ile da się to ustalić) czy lepiej mimo wszystko to zawrzeć w rozwiązaniu?
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze
Ja myślę, że w trzecim trzeba wszystko na jedną stronę i do wspólnego mianownika. W wyniku tego powinniśmy dostać w liczniku funkcję kwadratową. Jak mamy z jednej strony zero, to po prostu trzeba ustalić dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) ta funkcja ma dwa rozwiązania, ale mogę się mylić.