Równanie wymierne z wartością bezwzględną.

[carooolynox]

Witam, mam problem z następującym równaniem:

\(\displaystyle{ \frac{x}{x-1} = \frac{1}{2}\left| x-2\right|+2}\)

Odpowiedż ma wyjść \(\displaystyle{ x=2}\) a mi ciągle wychodzi \(\displaystyle{ x \in\left\{ 1,4\right\}}\)

Najpierw wyznaczyłam dziedzinę, potem odjęłam od obu stron 2, pomnożyłam przez 2 i rozpatrywałam przypadki ze względu na wartość bezwzględną. Z góry dziękuję za wszystkie wskazówki

[jarzabek89]

Jak mogło wyjść 1 skoro wyznaczyłaś dziedzinę?
Skorzystaj tutaj z definicji wartości bezwzględnej, jakiekolwiek przekształcenia co robisz są zbędne.

[mortan517]

Jak może ci tak wychodzić, jak \(\displaystyle{ 1}\) nie jest nawet w dziedzinie. Pokaż jak liczysz, dziedzina najpierw.

[Kartezjusz]

Zrób sprawdzenia

[Richard del Ferro]

\(\displaystyle{ \frac{x}{x-1}-2=\frac{1}{2} |x-2|}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-(2x-2)}{x-1}=\frac{1}{2}|x-2|}\)
\(\displaystyle{ \frac{-2x+4}{x-1}=|x-2|}\)

\(\displaystyle{ x\ge2}\)
\(\displaystyle{ -2x+4=(x-2)(x-1)}\)
\(\displaystyle{ -2x+4=x^{2}-3x+2}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-x-2=0 \Leftrightarrow (x-2)(x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ x \ge 2 \Rightarrow x=2}\)

\(\displaystyle{ x<2}\)
\(\displaystyle{ \frac{-2x+4}{x-1}=2-x}\)
\(\displaystyle{ -2x+4=(2-x)(x-1)}\)
\(\displaystyle{ -2x+4=-x^{2}+3x-2}\)
\(\displaystyle{ -x^{2}+5x-6=0 \Leftrightarrow -1(x-2)(x-3)=0}\)
\(\displaystyle{ x<2}\) Wniosek wyciągnij proszę samodzielnie, bo nie umiem w LaTeXie pisać zbioru pustego

Końcowa odpowiedź
\(\displaystyle{ x=2}\)

@edit
Ba no i oczywistym oczywiste, \(\displaystyle{ x \neq 1}\)