Strona 1 z 1

rozwiązać nierówność

: 21 cze 2012, o 11:04
autor: Kosynier
Proszę o sprawdzenie zadań
1.
\(\displaystyle{ \frac{3x}{x+2} \ge x /\cdot(x+2)}\)
\(\displaystyle{ 3x \ge x(x+2)}\)
\(\displaystyle{ 3x-x(x+2) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x(3-1)(x+2) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 2x(x+2) \ge 0 /:2}\)
\(\displaystyle{ x(x+2)}\)
\(\displaystyle{ x=0 \wedge x=-2}\)

2.
\(\displaystyle{ 2-\frac{x}{x+1} \le x}\)

\(\displaystyle{ -\frac{x}{x+1} \le x-2/\cdot(x+1)}\)
\(\displaystyle{ -x \le x^{2}+x-2x-2}\)
\(\displaystyle{ -x\le x^{2}-x-2}\)
\(\displaystyle{ -x-x^{2}+x+2\le 0}\)
\(\displaystyle{ -x^{2}+2\le 0 /\cdot(-1)}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}-2) \le 0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=2}\)

\(\displaystyle{ x= \sqrt{2} \ \ \vee \ \ x=-\sqrt{2}}\)

rozwiązać nierówność

: 21 cze 2012, o 11:19
autor: lightinside
1 żle musisz przez kwadrat wymnożyć jak masz nierówność, w drugim ten sam błąd... popraw to, to dalej zobaczymy;)

\(\displaystyle{ \left( x+2\right) ^2}\) zamiast \(\displaystyle{ x+2}\)

w pierwszym...

w drugim podobnie...

rozwiązać nierówność

: 21 cze 2012, o 11:27
autor: major37
To może na początek dziedzina To co po lewej przenieść na prawą i ustalić wspólny mianownik Zrobię pierwszy przykład. Dziedzina to rzeczywiste bez minus dwa i dalej przenoszę x i zmieniam znak \(\displaystyle{ \frac{3x}{x+2}-x \ge 0}\) wspólny mianownik \(\displaystyle{ \frac{3x}{x+2}- \frac{x(x+2)}{x+2} \ge 0}\) i upraszczamy \(\displaystyle{ \frac{-x ^{2}+x }{x+2} \ge 0}\) teraz wiemy że znak ilorazu jest taki sam jak iloczynu a to \(\displaystyle{ (-x ^{2}+x)(x+2) \ge 0}\) i dalej \(\displaystyle{ -x(x-1)(x+2) \ge 0}\) rozwiązujemy nierówność wielomianową. To powinieneś zrobić. Ty swoje rozwiązujesz jako równania a powinny być nierówności czyli jakiś przedział.-- 21 cze 2012, o 11:30 --tak jak mówi lightinside też by wyszło

rozwiązać nierówność

: 21 cze 2012, o 12:48
autor: Kosynier
W tym co napisał major37 wyszedł dodatkowy pierwiastek \(\displaystyle{ x=1}\) metodą lightinside tego pierwiastka wyznaczyć mi się nie udało, więc to jednak nie to samo. A jak to jest z tą zamianą dzielenia na mnożenie (mnożenie licznika z mianownikiem), czy można tak robić w każdej nierówności, czy może są jakieś warunki?

zadanie 2 zrobione wg. przykładu major37
\(\displaystyle{ D:x \in R \setminus \{-1\}}\)

\(\displaystyle{ 2-\frac{x}{x+1} \le x}\)
\(\displaystyle{ 2-\frac{x}{x+1}-x \le 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2(x+1)}{x+1}-\frac{x}{x+1}-\frac{x(x+1)}{x+1}\le 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2x+2-x-x^{2}-x}{x+1}\le 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{-x^{2}+2}{x+1}\le 0}\)
\(\displaystyle{ (-x^{2}-2)(x+1)\le 0}\)
\(\displaystyle{ -1(x^{2}-2)(x+1)\le 0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=2 \ \ \ \ x_{1}=-1}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\sqrt{2} \ \ \ \vee \ \ \ x_{3}=-\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ x=-1}\) leży poza dziedziną
zbiór rozwiązań to\(\displaystyle{ x in [-sqrt{2},-1) cup [sqrt{2}, infty )}\)

czy tak?

rozwiązać nierówność

: 21 cze 2012, o 16:20
autor: Przemo10
Kosynier pisze:W tym co napisał major37 wyszedł dodatkowy pierwiastek \(\displaystyle{ x=1}\) metodą lightinside tego pierwiastka wyznaczyć mi się nie udało, więc to jednak nie to samo. A jak to jest z tą zamianą dzielenia na mnożenie (mnożenie licznika z mianownikiem), czy można tak robić w każdej nierówności, czy może są jakieś warunki?
Popełniłeś błąd w rachunkach, wszystko wychodzi dobrze
\(\displaystyle{ D:x \in R \setminus \{-2\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3x}{x+2} \ge x /\cdot(x+2)^2; bo\bigwedge\limits_{x\in R\ \setminus \left\{ -2\right\}} (x+2)^2>0 \\3x\left( x+2\right) \ge x \left( x+2\right)^2\\ 3x^2+6x \ge x^3+4x^2+4x\\ x^3+x^2-2x \le 0\\ (x ^{2}+2x)(x+1) \le 0 \Rightarrow x(x-1)(x+2) \le 0}\)
Zatem na jedno wychodzi.
W tej metodzie musisz mnożyć przez \(\displaystyle{ (x+2)^2}\); bo \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in R\ \setminus \left\{ -2\right\}} (x+2)^2>0}\) . Czyli mnożysz przez liczbę dodatnią. Jesli zaś mnożysz przez \(\displaystyle{ x+2}\) to wtedy możesz mnożyć przez liczbę ujemną i wtedy nierównośc zmieni znak.
Ogólnie nie polecam tej metody. Przy przykładach w których masz w mianowniku np.:\(\displaystyle{ x+3,x; x+7; 2-x}\) muszisz mnożyć aż przez \(\displaystyle{ \left[ x\left ( x+3\right)\left( x+7\right)\left( 2-x\right)\right] ^2}\). To spowoduje, że będziesz miał duużo więcej obliczeń niż metodą \(\displaystyle{ 2}\).

rozwiązać nierówność

: 21 cze 2012, o 22:40
autor: piasek101
Przemo10 pisze: Ogólnie nie polecam tej metody. Przy przykładach w których masz w mianowniku np.:\(\displaystyle{ x+3,x; x+7; 2-x}\) muszisz mnożyć aż przez \(\displaystyle{ \left[ x\left ( x+3\right)\left( x+7\right)\left( 2-x\right)\right] ^2}\). To spowoduje, że będziesz miał duużo więcej obliczeń niż metodą \(\displaystyle{ 2}\).
A ja polecam.

Nie wymnażaj (bo tak pokazujesz); wyłączaj przed nawias (wspólny mianownik).