Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste

[kuba199201]

Siema!

Mam następujący przykład :
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x+4}{x^{4}+x^{3}+2x^{2}}}\)

Szczerze mówiąc nie mam pojęcia jak się za to zabrać ponieważ w zeszycie miałem przykłady trochę innego typu , z góry thx za odp!

[miki999]

Zacznij od znalezienia pierwiastków mianownika.

[kuba199201]

Czy to będzie wyglądać tak ?

\(\displaystyle{ \frac{A}{x}+ \frac{B}{x^{2}}+ \frac{Cx+D}{x^{2}+x+2}}\)
No i teraz po prostu to wszystko sprowadzić do wspólnego mianownika i wymnożyć?

[Crizz]

Tak.

[kuba199201]

ok no to po przemnożeniu wychodzi :
\(\displaystyle{ \frac{A[x^{2}\cdot(x^{2}+x+2)] + B[x\cdot(x^{2}+x+2)]+(Cx+D)\cdot x^{3}}{x \cdot x^{2} \cdot (x^{2}+x+2)}=\frac{x^{4}(A+C)+x^{3}(A+B+D)+x^{2}(2A+B)+x(2B)}{x \cdot x^{2} \cdot (x^{2}+x+2)}}\)

No i wychodzi mi z tego że \(\displaystyle{ A=-\frac{1}{2}, B=1, C= \frac{1}{2}, D=-\frac{1}{2}}\)

I po podstawieniu wychodzi mi ułamek inny niż w odp.

W odp. jest :
\(\displaystyle{ \frac{2}{x^{2}}- \frac{2}{x^{2}+x+2}}\)

Co robię źle?

Z góry thx za odp!

[miki999]

A po co robisz taki mianownik? Wystarczy: \(\displaystyle{ x^2(x^{2}+x+2)}\)- tak było w oryginale.

Wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{A}{x}+ \frac{B}{x^{2}}+ \frac{Cx+D}{x^{2}+x+2}= \frac{Ax(x^2+x+2)+B(x^2+x+2)+Cx^3+Dx^2}{x^2(x^{2}+x+2)}}\)
Po uporządkowaniu:
\(\displaystyle{ x^3(A+C)+x^2(A+B+D)+x(2A+B)+2B}\)

Porównując z oryginałem za darmo masz:
\(\displaystyle{ 2B=4 \\ B=2}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ 2A+B=2 \\ 2A+2=2 \\ A=0}\)
dalej:
\(\displaystyle{ A+C=0 \\ C=0}\)
dalej:
\(\displaystyle{ A+B+D=0 \\ 0+2+D=0 \\ D=-2}\)

i wszystko się zgadza.

[kuba199201]

Czy mógłby mi ktoś jeszcze pomóc z następującym przykładem :
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^{6}-x^{5}+2x^{4}+x^{3}+x+2}{x^{4}+x^{2}}}\)

Robiłem łatwiejsze przykłady i mi wychodziły , a za ten szczerze mówiąc nie wiem jak się zabrać. Trzeba na początku podzielić licznik? do jakiej postaci doprowadzić ten licznik? z góry thx za odp!