[sprawdzenie] równanie i nierówność - funkcja wymierna

[pitpiter]

1. równość
\(\displaystyle{ \frac{x+1}{x^2-x} - \frac{2x-3}{x^2-1} = \frac{6+3x-4x^2}{2x^3-2x}}\)

wyznaczamy dziedzinę

\(\displaystyle{ x^2-x\neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \wedge x \neq 1}\)

\(\displaystyle{ x^2-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \wedge x \neq -1}\)

\(\displaystyle{ D = R \setminus \left\{ -1,0,1\right\}}\)

Przekształcam równanie, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika i wychodzi mi

\(\displaystyle{ \frac{2x^2-7x-4}{2x(x-1)(x+1)} = 0}\)

wiemy więc, że

\(\displaystyle{ 2x^2-7x-4 = 0}\)

liczymy deltę i pierwiastki, wynik:

\(\displaystyle{ x = - \frac{1}{2} \in D}\)

\(\displaystyle{ x = 4 \in D}\)

2. nierówność

\(\displaystyle{ 1 + \frac{x-4}{x-3} \le \frac{x-2}{x-1}}\)

wyznaczamy dziedzinę

\(\displaystyle{ D = R \setminus \left\{ 1,3\right\}}\)

Po wyliczeniu wyrażenia wychodzi

\(\displaystyle{ \frac{x^2-4x+1}{(x-3)(x-1)} \le 0}\)

więc

\(\displaystyle{ (x-3)(x-1)(x-(2+ \sqrt{3}))(x-(2- \sqrt{3}))}\)

wynik

\(\displaystyle{ x \in \left\langle - \infty ; 0 \right\rangle \cup \left\langle 2-\sqrt{3} ; 1 ) \cup \left\langle 2+ \sqrt{3} ; 3 )}\)

[matmi]

a nie wychodzi tam w pewnym momencie \(\displaystyle{ 2x^2+7x-4 = 0}\)?

nierówność wygląda że jest dobrze

[pitpiter]

a nie wychodzi tam w pewnym momencie \(\displaystyle{ 2x^2+7x-4 = 0}\)?

a i owszem, błąd nieuwagi... wobec tego wynik

\(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ x = -4}\)

[matmi]

tak