badanie wartości funkcji w zależności od parametru - 3 za

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 4 gru 2006, o 20:58

1.Zbadaj dla jakich wartości parametru p, zbiorem wartości funkcji f określonej wzorem : \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x-p}{(x+p)(x-1)}}\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

2. Zbadaj czy istnieją takie wartości parametru m, dla których funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{mx^2+(x+2)x-2}{x^2+4x+4}}\) jest równa funkcji g określonej wzorem : \(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x-1}{x+2}}\)

3. Zbadaj dla jakich wartości parametru a zbiorem wartości funkcji f : \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x+a}{x^2+ax-1}}\) jest zbiór R.

1 i 3 zadanie się chyba tak samo rozwiązuję, więc proszę o pomoc w jednym z nich.

pawelpq · Post autor: **pawelpq** » 4 gru 2006, o 21:52

wedlug mnie musisz skorzystać ze wzorów vieta i dobrać odpowiedni współczynnik aby funkcja kwadratowa w mianowniku nie miała miejsc zerowych czyli D=R
Niestety nie mam pomysłu na realizacje:P

PFloyd · Post autor: **PFloyd** » 5 gru 2006, o 15:24

2)\(\displaystyle{ (3x-1)(x+2)=x^{2}(m+1)+2x-2}\)

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 5 gru 2006, o 19:13

PFloyd pisze:2)\(\displaystyle{ (3x-1)(x+2)=x^{2}(m+1)+2x-2}\)

czyli starczy przyrównać do siebie jakby te dwa równania, którymi opisane są funkcje? bo tak też zrobiłem i mi wyszło że dla m bodajże 0 i 3 i niestety było to złe rozwiązanie...

Rogal · Post autor: **Rogal** » 6 gru 2006, o 19:49

Rzekłbym, iż w tym drugim trzeba licznik i mianownik pierwszej funkcji podzielić przez x+2. Wtedy mianownik gra, dziedzina również, pozostaje tylko znalezienie parametru (dzięki dzieleniu, bo wiemy, że ma nam wyjść 3x - 1).

Natomiast co do jeden i trzy, to niezerowanie się mianownika nic nie daje, a co śmieszniejsze, funkcja w 3 ma zawsze dwa miejsca zerowe i pomimo tego jest Zw = R. Cosik innego tutaj musi zachodzić.

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 6 gru 2006, o 19:52

a w 2 może nie trzeba wyliczać m z delty, tylko skorzystać z twierdzenia o równości wielomianów...

Rogal · Post autor: **Rogal** » 6 gru 2006, o 20:00

Eureka, hehe : P.

Zrobimy sposobem najprostszym : ) na przykładzie trzeciego:

\(\displaystyle{ \frac{x+a}{x^{2} + ax - 1} = k}\) k musi należeć więc do R, by warunki zadania były spełnione. Idźmy dalej:
\(\displaystyle{ x + a = kx^{2} + akx - k \\ kx^{2} + x(ak-1) - k - a = 0}\)
Przypadeczek, gdy k = 0, czyli x = -a od razu sobie załatwiamy, dalej zakładamy k 0 i liczmy deltkę:
\(\displaystyle{ \Delta = a^{2}k^{2} - 2ak + 1 + 4k^{2} + 4ak = a^{2}k^{2} + 2ak + 1 + 4k^{2} = (ak + 1)^{2} + 4k^{2} q 0}\) jako suma dwóch kwadratów liczb rzeczywistych. Z tego więc można wyciągnąć prosty wniosek, który bił mnie po oczach, gdy analizował wykres tego, że dla każdego k e R a równiez należy do R.

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 6 gru 2006, o 20:03

czyli odpowiedź będzie że \(\displaystyle{ a\in R}\) ?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 6 gru 2006, o 20:09

Tak sadzę i tak zapisałem ; p