wykaż, że funkcja

[je?op]

Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ g(x)=x+ \frac{9}{x}}\)dla dodatnich argumentów przyjmuje wartości nie mniejsze od 6

[Althorion]

Innymi słowy, wykaż, że:
\(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}_+ \Rightarrow x + \frac{9}{x} > 6}\)

[je?op]

\(\displaystyle{ x+\frac{9}{x} \ge 6}\)
tyle wiem, ale jak się za to zabrać, jakaś wskazówka ?

[Althorion]

Skoro \(\displaystyle{ x>0}\), to możesz pomnożyć obustronnie przez niego bez zmiany znaku nierówności.

[jaodryska]

Temat stary jak świat, ale można by go sfinalizować, myślę. Ja też zastanawiałem się nad poprawnym rozwiązaniem i chyba takie jest najlepsze ( proszę też w sumie o ocenę ). Zatem:
- mnożę obustronnie przez \(\displaystyle{ x}\), otrzymując \(\displaystyle{ x^{2} - 6x + 9\geqslant 0}\)
- delta równa 0 więc, współczynnik a dodatni więc cała f-cja przyjmuje wartości nie mniejsze od 0. ( oczywiście tylko dla \(\displaystyle{ x > 0}\)

dobrze ?

[szw1710]

Inny wariant tego rozwiązania można otrzymać z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną. Jej dowód opiera się na takim samym przejściu jak powyżej.

\(\displaystyle{ \frac{x+\frac{9}{x}}{2}\ge\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}}=3}\)

[jaodryska]

no to już wyższa szkoła jazdy brawo za spryt

[szw1710]

Wcale nie taka wyższa. Wykażę, że dla każdych \(\displaystyle{ a,b>0}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}}\).

Istotnie, skoro \(\displaystyle{ \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge 0}\), to \(\displaystyle{ a+b-2\sqrt{ab}\ge 0}\), co jest równoważne dowodzonej nierówności.

Zauważysz tu rozumowanie, które przedstawiłeś.

[VanHezz]

Witam,
ja mam inne rozwiązanie tego zadania, ale nie jestem pewien, czy jest poprawne. Proszę o ocenę.

Mamy funkcję \(\displaystyle{ g(x)=x+ \frac{9}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)

Wyznaczam zbiór wartości tej funkcji:

Sprawdzam, dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ q}\), równanie \(\displaystyle{ x+ \frac{9}{x}=q}\) ma przynajmniej jedno rozwiązanie. (bo wtedy liczba \(\displaystyle{ q}\) będzie należała do zbioru wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\))

\(\displaystyle{ x+ \frac{9}{x}=q}\), \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x^{2} -qx+9=0}\)

Równanie, równoważne do wyjściowego, będzie miało przynajmniej jedno rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)

\(\displaystyle{ q^{2}-36 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ q \in (- \infty , -6\rangle \cup \langle 6,+ \infty )}\)

Zatem \(\displaystyle{ 6\ge x+ \frac{9}{x} \ge 6}\)

A skoro \(\displaystyle{ x>0}\), to \(\displaystyle{ x+\frac{9}{x} \ge 6 }\) w tym przedziale, c.n.d.

[Jan Kraszewski]

ja mam inne rozwiązanie tego zadania, ale nie jestem pewien, czy jest poprawne.

Tak można zrobić, ale trzeba napisać porządne uzasadnienie (którego teraz brakuje).

Równanie, równoważne do wyjściowego, będzie miało przynajmniej jedno rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)

\(\displaystyle{ q^{2}-36 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ q \in (- \infty , -6\rangle \cup \langle 6,+ \infty )}\)

Rachunki są OK, ale nierówność

Zatem \(\displaystyle{ 6\ge x+ \frac{9}{x} \ge 6}\)

jest co najmniej dziwna, a wniosek

A skoro \(\displaystyle{ x>0}\), to \(\displaystyle{ x+\frac{9}{x} \ge 6 }\) w tym przedziale,

nie ma uzasadnienia (i w jakim "tym" przedziale?).

JK

[VanHezz]

Obliczajac dla jakich wartości \(\displaystyle{ q}\) równanie \(\displaystyle{ x+ \frac{9}{x}=q}\) ma co najmniej jedno rozwiązanie, sprawdzę jakie wartości przyjmuje wspomniana funkcja \(\displaystyle{ g(x)}\) w swojej dziedzinie, czyli sprawdzę dla jakich wartości \(\displaystyle{ q}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ g(x)=q}\).


Po rachunkach wyszło, że \(\displaystyle{ q \in (- \infty, -6 \rangle \cup \langle 6, \infty)}\) i niech zbiór \(\displaystyle{ A=(- \infty, -6 \rangle \cup \langle 6, \infty)}\)

Zatem można powiedzieć, że

\(\displaystyle{ \bigwedge_{q\in A} \bigvee_{x \neq 0} g(x)=q}\)

zatem

\(\displaystyle{ \bigwedge_{x \in D} (g(x) \ge 6 \vee g(x) \le -6)}\)

Po uwzględnieniu warunku z założenia, że \(\displaystyle{ x>0}\), łatwo widać, że dla zadanych wartości argumentów funkcja \(\displaystyle{ g(x)}\) przyjmuje wartości dodatnie i będzie to wyznaczony zbiór \(\displaystyle{ \langle 6, \infty )}\).

[Jan Kraszewski]

Po rachunkach wyszło, że \(\displaystyle{ q \in (- \infty, -6 \rangle \cup \langle 6, \infty)}\)

No i to jest w porządku.

i niech zbiór \(\displaystyle{ A=(- \infty, -6 \rangle \cup \langle 6, \infty)}\)

Zatem można powiedzieć, że

\(\displaystyle{ \bigwedge_{q\in A} \bigvee_{x \neq 0} g(x)=q}\)

zatem

\(\displaystyle{ \bigwedge_{x \in D} (g(x) \ge 6 \vee g(x) \le -6)}\)

To zaś jest zupełnie zbędny formalizm - użycie kwantyfikatorów nie powoduje, że rozwiązanie jest lepsze...

Po uwzględnieniu warunku z założenia, że \(\displaystyle{ x>0}\), łatwo widać, że dla zadanych wartości argumentów funkcja \(\displaystyle{ g(x)}\) przyjmuje wartości dodatnie i będzie to wyznaczony zbiór \(\displaystyle{ \langle 6, \infty )}\).

A tego właśnie brakowało poprzednio (choć zamiast "będzie to wyznaczony zbiór \(\displaystyle{ \langle 6, \infty )}\)" lepiej napisać "będą to zatem wartości należące do zbioru \(\displaystyle{ \langle 6, \infty )}\), czyli \(\displaystyle{ g(x)\ge 6}\)").

JK

[VanHezz]

Nie chciałem, żeby rozwiązanie było lepsze dzięki kwantyfikatorom, ale prosiłeś o uzasadnienie i dodatkowe wyjaśnienia, to się o nie postarałem, a żeby się nie rozpisywać słownie, to użyłem kwantyfikatorów.

Dziękuję za uwagi.

[Jan Kraszewski]

prosiłeś o uzasadnienie i dodatkowe wyjaśnienia, to się o nie postarałem, a żeby się nie rozpisywać słownie, to użyłem kwantyfikatorów.

Ale akurat lepiej jest słownie niż kwantyfikatorami. Dodatkowo akurat fragment z kwantyfikatorami był zbędny - brakowało czego innego...

JK