wykaż, że funkcja
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 25 gru 2016, o 10:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Złotoryja
- Podziękował: 8 razy
wykaż, że funkcja
Temat stary jak świat, ale można by go sfinalizować, myślę. Ja też zastanawiałem się nad poprawnym rozwiązaniem i chyba takie jest najlepsze ( proszę też w sumie o ocenę ). Zatem:
- mnożę obustronnie przez \(\displaystyle{ x}\), otrzymując \(\displaystyle{ x^{2} - 6x + 9\geqslant 0}\)
- delta równa 0 więc, współczynnik a dodatni więc cała f-cja przyjmuje wartości nie mniejsze od 0. ( oczywiście tylko dla \(\displaystyle{ x > 0}\)
dobrze ?
- mnożę obustronnie przez \(\displaystyle{ x}\), otrzymując \(\displaystyle{ x^{2} - 6x + 9\geqslant 0}\)
- delta równa 0 więc, współczynnik a dodatni więc cała f-cja przyjmuje wartości nie mniejsze od 0. ( oczywiście tylko dla \(\displaystyle{ x > 0}\)
dobrze ?
wykaż, że funkcja
Inny wariant tego rozwiązania można otrzymać z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną. Jej dowód opiera się na takim samym przejściu jak powyżej.
\(\displaystyle{ \frac{x+\frac{9}{x}}{2}\ge\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}}=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{x+\frac{9}{x}}{2}\ge\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}}=3}\)
wykaż, że funkcja
Wcale nie taka wyższa. Wykażę, że dla każdych \(\displaystyle{ a,b>0}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}}\).
Istotnie, skoro \(\displaystyle{ \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge 0}\), to \(\displaystyle{ a+b-2\sqrt{ab}\ge 0}\), co jest równoważne dowodzonej nierówności.
Zauważysz tu rozumowanie, które przedstawiłeś.
Istotnie, skoro \(\displaystyle{ \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge 0}\), to \(\displaystyle{ a+b-2\sqrt{ab}\ge 0}\), co jest równoważne dowodzonej nierówności.
Zauważysz tu rozumowanie, które przedstawiłeś.
-
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Międzyrzecz
- Podziękował: 34 razy
Re: wykaż, że funkcja
Witam,
ja mam inne rozwiązanie tego zadania, ale nie jestem pewien, czy jest poprawne. Proszę o ocenę.
Mamy funkcję \(\displaystyle{ g(x)=x+ \frac{9}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)
Wyznaczam zbiór wartości tej funkcji:
Sprawdzam, dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ q}\), równanie \(\displaystyle{ x+ \frac{9}{x}=q}\) ma przynajmniej jedno rozwiązanie. (bo wtedy liczba \(\displaystyle{ q}\) będzie należała do zbioru wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\))
\(\displaystyle{ x+ \frac{9}{x}=q}\), \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x^{2} -qx+9=0}\)
Równanie, równoważne do wyjściowego, będzie miało przynajmniej jedno rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)
\(\displaystyle{ q^{2}-36 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ q \in (- \infty , -6\rangle \cup \langle 6,+ \infty )}\)
Zatem \(\displaystyle{ 6\ge x+ \frac{9}{x} \ge 6}\)
A skoro \(\displaystyle{ x>0}\), to \(\displaystyle{ x+\frac{9}{x} \ge 6 }\) w tym przedziale, c.n.d.
ja mam inne rozwiązanie tego zadania, ale nie jestem pewien, czy jest poprawne. Proszę o ocenę.
Mamy funkcję \(\displaystyle{ g(x)=x+ \frac{9}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)
Wyznaczam zbiór wartości tej funkcji:
Sprawdzam, dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ q}\), równanie \(\displaystyle{ x+ \frac{9}{x}=q}\) ma przynajmniej jedno rozwiązanie. (bo wtedy liczba \(\displaystyle{ q}\) będzie należała do zbioru wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\))
\(\displaystyle{ x+ \frac{9}{x}=q}\), \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x^{2} -qx+9=0}\)
Równanie, równoważne do wyjściowego, będzie miało przynajmniej jedno rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)
\(\displaystyle{ q^{2}-36 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ q \in (- \infty , -6\rangle \cup \langle 6,+ \infty )}\)
Zatem \(\displaystyle{ 6\ge x+ \frac{9}{x} \ge 6}\)
A skoro \(\displaystyle{ x>0}\), to \(\displaystyle{ x+\frac{9}{x} \ge 6 }\) w tym przedziale, c.n.d.
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: wykaż, że funkcja
Tak można zrobić, ale trzeba napisać porządne uzasadnienie (którego teraz brakuje).
Rachunki są OK, ale nierówność
jest co najmniej dziwna, a wniosek
nie ma uzasadnienia (i w jakim "tym" przedziale?).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Międzyrzecz
- Podziękował: 34 razy
Re: wykaż, że funkcja
Obliczajac dla jakich wartości \(\displaystyle{ q}\) równanie \(\displaystyle{ x+ \frac{9}{x}=q}\) ma co najmniej jedno rozwiązanie, sprawdzę jakie wartości przyjmuje wspomniana funkcja \(\displaystyle{ g(x)}\) w swojej dziedzinie, czyli sprawdzę dla jakich wartości \(\displaystyle{ q}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ g(x)=q}\).
Po rachunkach wyszło, że \(\displaystyle{ q \in (- \infty, -6 \rangle \cup \langle 6, \infty)}\) i niech zbiór \(\displaystyle{ A=(- \infty, -6 \rangle \cup \langle 6, \infty)}\)
Zatem można powiedzieć, że
\(\displaystyle{ \bigwedge_{q\in A} \bigvee_{x \neq 0} g(x)=q}\)
zatem
\(\displaystyle{ \bigwedge_{x \in D} (g(x) \ge 6 \vee g(x) \le -6)}\)
Po uwzględnieniu warunku z założenia, że \(\displaystyle{ x>0}\), łatwo widać, że dla zadanych wartości argumentów funkcja \(\displaystyle{ g(x)}\) przyjmuje wartości dodatnie i będzie to wyznaczony zbiór \(\displaystyle{ \langle 6, \infty )}\).
Po rachunkach wyszło, że \(\displaystyle{ q \in (- \infty, -6 \rangle \cup \langle 6, \infty)}\) i niech zbiór \(\displaystyle{ A=(- \infty, -6 \rangle \cup \langle 6, \infty)}\)
Zatem można powiedzieć, że
\(\displaystyle{ \bigwedge_{q\in A} \bigvee_{x \neq 0} g(x)=q}\)
zatem
\(\displaystyle{ \bigwedge_{x \in D} (g(x) \ge 6 \vee g(x) \le -6)}\)
Po uwzględnieniu warunku z założenia, że \(\displaystyle{ x>0}\), łatwo widać, że dla zadanych wartości argumentów funkcja \(\displaystyle{ g(x)}\) przyjmuje wartości dodatnie i będzie to wyznaczony zbiór \(\displaystyle{ \langle 6, \infty )}\).
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: wykaż, że funkcja
No i to jest w porządku.
To zaś jest zupełnie zbędny formalizm - użycie kwantyfikatorów nie powoduje, że rozwiązanie jest lepsze...
A tego właśnie brakowało poprzednio (choć zamiast "będzie to wyznaczony zbiór \(\displaystyle{ \langle 6, \infty )}\)" lepiej napisać "będą to zatem wartości należące do zbioru \(\displaystyle{ \langle 6, \infty )}\), czyli \(\displaystyle{ g(x)\ge 6}\)").
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Międzyrzecz
- Podziękował: 34 razy
Re: wykaż, że funkcja
Nie chciałem, żeby rozwiązanie było lepsze dzięki kwantyfikatorom, ale prosiłeś o uzasadnienie i dodatkowe wyjaśnienia, to się o nie postarałem, a żeby się nie rozpisywać słownie, to użyłem kwantyfikatorów.
Dziękuję za uwagi.
Dziękuję za uwagi.
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: wykaż, że funkcja
Ale akurat lepiej jest słownie niż kwantyfikatorami. Dodatkowo akurat fragment z kwantyfikatorami był zbędny - brakowało czego innego...
JK