zad. Rozłożyć na ułamki proste
\(\displaystyle{ \frac{x}{(x ^{2}-1) ^{2} }=\frac{x}{(x-1) ^{2} (x+1) ^{2} }= \frac{A}{(x-1)}+ \frac{B}{(x-1) ^{2}}+ \frac{C}{(x+1)}+ \frac{D}{(x+1) ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{(x ^{2}-1) ^{2} }= \frac{A(x-1)(x+1) ^{2}+B(x+1) ^{2}+C(x-1) ^{2} (x+1)+D(x-1) ^{2}}{(x-1) ^{2} (x+1) ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ x=A(x-1)(x+1) ^{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 1=A*0*4}\)
\(\displaystyle{ A=0}\)
-------------------------------------------------------------------
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ x=B(x+1) ^{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 1=4B}\)
\(\displaystyle{ B= \frac{1}{4}}\)
-------------------------------------------------------------------
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-1 \\ x=C(x-1) ^{2}(x+1) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ -1=C*4*0}\)
\(\displaystyle{ C= 0}\)
-------------------------------------------------------------------
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-1 \\ x=D(x-1) ^{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ -1=4D}\)
\(\displaystyle{ D= -\frac{1}{4}}\)
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odp. \(\displaystyle{ \frac{x}{(x ^{2}-1) ^{2} }= \frac{1}{4(x-1) ^{2}}-\frac{1}{4(x+1) ^{2}}}\)
Mam wątpliwości do czynników A i C. Nie wiem czy dobrze to policzyłem. Ale wynik ogólnie się zgadza.
