Dla jakich wartości m pierwiastki równania spełniają warunek

[winfast29]

\(\displaystyle{ 5 ^{x(x+1)} \cdot 25 ^{ \frac{m(m-1)}{2} }= \sqrt{5^{ x^{2} } } \cdot 125 ^{ \frac{mx+m+1}{2} }}\)

oto warunek:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x1}+ \frac{1}{x2}>0}\)

[Tomek_Z]

\(\displaystyle{ 5 ^{x(x+1)} 25 ^{ \frac{m(m-1)}{2} }= \sqrt{5^{ x^{2} } } 125 ^{ \frac{mx+m+1}{2} } \\ 5^{x(x+1) + m(m-1)} = 5^{ \frac{x^2}{2} + \frac{3(mx+m+1)}{2} } \\ x(x+1) + m(m-1) = \frac{x^2}{2} + \frac{3(mx+m+1)}{2} \\ x^2 + x(2-3m) + m^2-4m - 3 = 0}\)

Masz zwykłe równanie z parametrem m , warunek przekształcam tak by wykorzystać wzory Vietea:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(2-3m)^2 - 2(m^2-4m-3)}{m^2-4m-3}}\)