Równanie z parametrem

[nagiewont]

Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) równanie \(\displaystyle{ (k-1)x^2-4x+k=0}\) ma dwa pierwiastki spełniające warunek \(\displaystyle{ x_1

Z góry dzięki za pomoc }\)

[wb]

I: \(\displaystyle{ k-1>0}\)

\(\displaystyle{ \\ f(x)=(k-1)x^2-4x+k \\ \\ \begin{cases} k-1>0 \Leftrightarrow k\in (1;\infty) \\ \Delta>0 k\in( \frac{1-\sqrt{17}}{2}; \frac{1+\sqrt{17}}{2} ) \\ f(1) k\in (-\infty; \frac{5}{2}) \end{cases} \\ \\ k\in (1;\infty)\cap ( \frac{1-\sqrt{17}}{2}; \frac{1+\sqrt{17}}{2} ) \cap (-\infty; \frac{5}{2}) \\ k\in (1; \frac{5}{2} )}\)



II: \(\displaystyle{ k-10 k\in (\frac{5}{2};\infty) \end{cases} \\ \\ k\in (-\infty;1)\cap ( \frac{1-\sqrt{17}}{2}; \frac{1+\sqrt{17}}{2} ) \cap (\frac{5}{2};\infty) \\ k\in \emptyset}\)



\(\displaystyle{ k\in (1; \frac{5}{2} )\cup \emptyset= (1; \frac{5}{2} )}\)

[nagiewont]

\(\displaystyle{ \Delta>0 k\in( \frac{1-\sqrt{17}}{2}; \frac{1+\sqrt{17}}{2} )}\)

Bardzo dziękuję za włożony wysiłek Mógłbym jeszcze prosić o rozpisanie jak dojść do tego fragmentu, który zacytowałem? Nie wiem dlaczego tam pojawia się \(\displaystyle{ \sqrt{17}}\). Pozdrawiam

[LichuKlichu]

17 to \(\displaystyle{ \Delta}\) nierówności \(\displaystyle{ -k^2+k+4>0}\)

z tego \(\displaystyle{ k (\frac{1-\sqrt{17}}{2}; \frac{1+\sqrt{17}}{2})}\)

[nagiewont]

17 to \(\displaystyle{ \Delta}\) nierówności \(\displaystyle{ -k^2+k+4>0}\)

z tego \(\displaystyle{ k (\frac{1-\sqrt{17}}{2}; \frac{1+\sqrt{17}}{2})}\)

Hmm, gdzieś muszę popełniać jakiś głupi błąd
\(\displaystyle{ (k-1)x^2-4x+k=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(-4)^2-4k(k-1)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16-4k^2+4k}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-4k^2+4k+16}\)
\(\displaystyle{ \Delta_k=4^2-4*(-4)*16}\)
\(\displaystyle{ \Delta k=16+256=272}\)

[marcinn12]

Dobrze robisz bo:

\(\displaystyle{ \sqrt{272} =4 \sqrt{17}}\)

Czyli

\(\displaystyle{ k _{1} = \frac{-4+4 \sqrt{17}}{-8}}\)

\(\displaystyle{ k _{2} = \frac{-4-4 \sqrt{17}}{-8}}\)

I to się poskraca i wyjdzie:

\(\displaystyle{ k _{1} = \frac{1-1 \sqrt{17}}{2}}\)

\(\displaystyle{ k _{2} = \frac{1+1 \sqrt{17}}{2}}\)