Matematyka.pl

Uczniowie klasy trzeciej postanowili zorganizować dyskotekę dla uczniów klas pierwszych i drugich (razem 8 klas ; w każdej jest powyżej 20 osób). Na podstawie przeprowadzonej ankiety oszacowali, że przy cenie biletu 5 zł. z każdej klasy przyjdzie 15 osób. Zwiększenie ceny biletu o każde 50 groszy spowoduje, że z każdej klasy przyjdzie o jedną osobę mniej. Jaką cenę powinni ustalić, aby suma ze sprzedaży biletów była największa? Ile osób należy się wówczas spodziewać?

Bardzo proszę o pomoc

Jeżeli nie potrzeba jakiś dokładniejszych wyliczeń, można zrobić minisymulację. Pierwsza kolumna to cena biletu (wzrost o 50 gr), druga to liczba chętnych (gdy cena wzrasta o 50 gr, liczba chętnych spada o 8 osób), trzecia kolumna to nasz przychód z dyskoteki:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|rc|c |}
\hline
5,00 & 120 & 600 \\
5,50 & 112 & 616 \\
6,00 & 104 & 624 \\
6,50 & 96 & 624 \\
7,00 & 88 & 616 \\
7,50 & 80 & 600 \\
8,00 & 72 & 576 \\
8,50 & 64 & 544 \\
\end{tabular}}\)

Widzimy, że osiągniemy przychód 624 dla ceny biletu 6,00 i liczbie chętnych 104 lub przy cenie 6,50 i liczbie chętnych 96... no ale chyba, im więcej osób, tym lepsza zabawa...

\(\displaystyle{ y = (5+0.5x)8(15-x)}\)
\(\displaystyle{ y =-4x^2+20x+600}\)

\(\displaystyle{ p = \frac{-b}{2a}}\) // współrzędna x wierzchołka paraboli
\(\displaystyle{ p = \frac{-20}{-8} = 2.5}\)

Odp: Powinni podwyższyć cenę o 1.25 , przyjdzie wtedy 100 osób (średnio po 12.5 osoby) i zarobią 625zł.

Jeśli z każdej klasy może przyjść tylko całkowita ilość wystarczy podać 2 sąsiednie wyniki spełniające warunki zadania : 1.5(6.5zl) - 624
1(6zl) - 624

Teraz bez symulacji

Cenę biletów można zapisac jako ciąg arytmetyczny (r=0,5):

\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1)r}\)
\(\displaystyle{ a_n=5+(n-1)0,5}\)

z kolei liczbę osób:

\(\displaystyle{ b_n=b_1+(n-1)r}\)
\(\displaystyle{ b_n=120-(n-1)8}\)

Nasz przychód:

\(\displaystyle{ y = [5+(x-1)0,5] [120-(x-1)8]}\)
\(\displaystyle{ y=(4,5+0,5x)(128-8x)}\)
\(\displaystyle{ y=576-36x+64x-4x^2}\)
\(\displaystyle{ y=-4x^2+28x+576}\)

Liczymy p (parabola ma ramiona skierowane w dół):

\(\displaystyle{ p= \frac{-b}{2a}= \frac{-28}{-8}=3,5}\)

Przychód:
\(\displaystyle{ y=-4(3,5)x^2+28(3,5)+576=625}\)

zatem:

bilet: \(\displaystyle{ 5+(3,5-1)0,5=6,25}\) zł
liczba osób: \(\displaystyle{ 120-(3,5-1)8 = 100}\) osób

tylko tutaj już znika ta prawidłowość klasowa, że wszystkie klasy są tak samo wrażliwe na zmiany poziomu cen biletu

Wyliczyłem to sposobem areceka i mam, że p = 2.5. Następnie podłożyłem to pod x w funkcji kwadratowej i wyszło mi 625. Co mam teraz zrobić?

\(\displaystyle{ y = (5+0.5x)8(15-x)}\)

to inaczej :

zysk = cena * 8 * chętni z klasy

x oznacza tutaj ile razy zwiększymy cenę o 50gr (i tym samym ilu uczestników ubędzie).

Wyliczyłeś p , czyli x dla którego osiągamy maksymalny zysk. Czyli tyle razy musisz podniesc cene o 50gr : 5+2.5*0.5 = 6.25zł , i o tylu ci spadnie ilość uczestników z danej klasy : 15-2.5=12.5. (*8 = 100)