Matematyka.pl

wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem wszystkich środków cięciw paraboli \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2} x^{2}}\) przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ P(0,-1)}\)

Wszystkie proste przechodące przez punkt \(\displaystyle{ (0,-1)}\) są opisane równaniem postaci \(\displaystyle{ y=ax-1}\). Najpierw z układu równań wyznaczamy punkty wspólne prostej i paraboli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=\frac{1}{2}x^{2} \\ y=ax-1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-2ax+1=0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=a-\sqrt{a^{2}-1},x_{1}=a+\sqrt{a^{2}-1}}\)
\(\displaystyle{ y_{1}=a^{2}-1-\sqrt{a^{2}-1},y_{2}=a^{2}-1+\sqrt{a^{2}-1}}\)
Wyznaczamy środek odcinka \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}\):
\(\displaystyle{ S=(a,a^{2}-1)}\)
Zatem warunki zadania spełniają takie punkty, których współrzędne można przedstawić w otrzymanej postaci. Szukaną krzywą jest zatem parabola \(\displaystyle{ y=x^{2}-1}\)
(ale nie cała, tylko jej fragment położony "nad" wykresem wyjściowej paraboli).

Crizz pisze:Wszystkie proste przechodące przez punkt \(\displaystyle{ (0,-1)}\) są opisane równaniem postaci \(\displaystyle{ y=ax-1}\).

Dla ścisłości nie wszystkie - jedna ma inne równanie. Chociaż nie ma to wpływu na wynik tego zadania

\(\displaystyle{ x^{2}-2ax+1=0}\)

Według mnie powinno być
\(\displaystyle{ x^{2}-2ax+2=0}\) a to już działa na wynik.

(ale nie cała, tylko jej fragment położony "nad" wykresem wyjściowej paraboli).

Na co warunek analityczny można "wyciągnąć" z wyróżnika prezentowanego wyżej równania.

Dzięki, JankoS, po 23 moja głowa pracuje nieco inaczej

Crizz pisze:Dzięki, JankoS, po 23 moja głowa pracuje nieco inaczej

No to Kolega może w jakiś sposób to kontrolować. Mnie takie coś dopada znienacka.
Pozdrawiam.
JanKo