Zad.
Dla jakich wartości parametru k równanie \(\displaystyle{ (k+1)x ^{2}-2x+k-1=0}\) ma dwa rózne rozwiązania należące do przedziału (0,2) ?
Z góry dzięki za pomoc.
Dwa różne rozwiązania
-
szalony
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 1 paź 2008, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 12 razy
Dwa różne rozwiązania
Mógłbyś to dalej rozwinąć ?
Bo rozwiązując wychodzi mi mnóstwo przedziałów, które nijak mają się do siebie.
Bo rozwiązując wychodzi mi mnóstwo przedziałów, które nijak mają się do siebie.
-
virusssss
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 24 lut 2006, o 10:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: sqq
- Podziękował: 5 razy
Dwa różne rozwiązania
podbijam, temat został pozostawiony, próbowałem to rozwiązać i lipa.
zacząłem tak: aby równanie miało dwa różne rozwiązania to k nie jest równe 1, delta>0 , poza tym
\(\displaystyle{ x_{1} \in (0,2) \cap x_{2} \in (0,2)}\) czyli
\(\displaystyle{ x_{1}>0 \cap x_{1}-2<0 \cap x_{2}>0 \cap x_{2}-2<0}\), potem wykorzystując wzory viete'a:
\(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2}>0 \cap x_{1}+x_{2}>0 \cap x_{1} \cdot x_{2} -2(x_{1}+x_{2}) +4>0}\)
rozwiązując to wszystko wychodzi pełno przedziałów, to prawda, ale jeżeli pomysł jest ok to rozwiązanie też powinno być ok, no nie? w takim razie czy ktoś może powiedzieć gdzie leży błąd w takim "pomyśle" na rozwiązanie? z góry dzięki;)
??
zacząłem tak: aby równanie miało dwa różne rozwiązania to k nie jest równe 1, delta>0 , poza tym
\(\displaystyle{ x_{1} \in (0,2) \cap x_{2} \in (0,2)}\) czyli
\(\displaystyle{ x_{1}>0 \cap x_{1}-2<0 \cap x_{2}>0 \cap x_{2}-2<0}\), potem wykorzystując wzory viete'a:
\(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2}>0 \cap x_{1}+x_{2}>0 \cap x_{1} \cdot x_{2} -2(x_{1}+x_{2}) +4>0}\)
rozwiązując to wszystko wychodzi pełno przedziałów, to prawda, ale jeżeli pomysł jest ok to rozwiązanie też powinno być ok, no nie? w takim razie czy ktoś może powiedzieć gdzie leży błąd w takim "pomyśle" na rozwiązanie? z góry dzięki;)
??
-
marcinn12
- Użytkownik
- Posty: 882
- Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 61 razy
- Pomógł: 193 razy
Dwa różne rozwiązania
Równanie musi być kwadratowe aby miało dwa pierwiastki dlatego wychodzimy od warunku:
\(\displaystyle{ k+1 \neq 0}\)
Musi też zachodzić warunek \(\displaystyle{ \Delta>0}\).
\(\displaystyle{ 4-4(k^{2}-1)>0}\)
\(\displaystyle{ 4(2-k^{2})>0}\)
\(\displaystyle{ 4(k- \sqrt{2})(k+ \sqrt{2} ) >0}\)
\(\displaystyle{ K \in[- \sqrt{2} , \sqrt{2}]}\)
Wierzchołek paraobli też musi być zawarty w przedziale podanym w zadaniu:
\(\displaystyle{ x _{w}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{k+1}>0}\)
\(\displaystyle{ k>-1}\)
i
\(\displaystyle{ x _{w}<2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{k+1} -2<0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1-2k-2}{k+1}<0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2k-1}{k+1} >0}\)
\(\displaystyle{ k \in (-\infty,-1) \cup ( \frac{1}{2} , \infty)}\)
I jeszcze trzeba sprawdzić kiedy:
\(\displaystyle{ f(0)>0}\)
\(\displaystyle{ k>1}\)
\(\displaystyle{ f(2)>0}\)
\(\displaystyle{ k> \frac{1}{5}}\)
Koniunkcja wszystkiego to: \(\displaystyle{ k \in (1, \sqrt{2} )}\)
\(\displaystyle{ k+1 \neq 0}\)
Musi też zachodzić warunek \(\displaystyle{ \Delta>0}\).
\(\displaystyle{ 4-4(k^{2}-1)>0}\)
\(\displaystyle{ 4(2-k^{2})>0}\)
\(\displaystyle{ 4(k- \sqrt{2})(k+ \sqrt{2} ) >0}\)
\(\displaystyle{ K \in[- \sqrt{2} , \sqrt{2}]}\)
Wierzchołek paraobli też musi być zawarty w przedziale podanym w zadaniu:
\(\displaystyle{ x _{w}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{k+1}>0}\)
\(\displaystyle{ k>-1}\)
i
\(\displaystyle{ x _{w}<2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{k+1} -2<0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1-2k-2}{k+1}<0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2k-1}{k+1} >0}\)
\(\displaystyle{ k \in (-\infty,-1) \cup ( \frac{1}{2} , \infty)}\)
I jeszcze trzeba sprawdzić kiedy:
\(\displaystyle{ f(0)>0}\)
\(\displaystyle{ k>1}\)
\(\displaystyle{ f(2)>0}\)
\(\displaystyle{ k> \frac{1}{5}}\)
Koniunkcja wszystkiego to: \(\displaystyle{ k \in (1, \sqrt{2} )}\)