Matematyka.pl

mój problem moze nie jest natury tej że tego nie umiem tylko że w kluczu są jedynie odpowiedzi x=3 y = 5 lub x=5 y=3.
A mi wychodza dodatkowe 2 pary rozwiązań. Oto zadanie:

Wprowadzając niewiadome pomocnicze t=x+y oraz s = xy rozwiąż:

\(\displaystyle{ \begin{cases} xy = 15\\ x+y+x ^{2}+y ^{2}=42 \end{cases}}\)

Wygląd jakby odrzucali jemne t. A moim zdaniem jedynym dodatkowym założeniem w zadaniu jest że x i y> 0 lub x i y < 0 (bo xy = 15).
Liczę na oświecenie mnie lub erratę do klucza.

\(\displaystyle{ \begin{cases} s=15 \\ t+t^2-2s=42 \end{cases} \\ \begin{cases} s=15 \\ t^2+t-12=0 \end{cases} \\ \begin{cases} s=15 \\ t=-4 \end{cases} \begin{cases} s=15 \\ t=3 \end{cases}}\)
teraz już powinno być prosto

\(\displaystyle{ \begin{cases} s=15 \\ t^2-2s+t=42 \end{cases} t^{2}+t-72= (t-8)(t+9)=0 t=8 t=-9 \\
\\
\\
\begin{cases} xy=15 \\ x+y=8 \end{cases} \begin{cases} xy=15 \\ x+y=-9 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 8x-x^{2}=15 \ \ -9x-x^{2}=15 \\
x^{2}-8x+15=0 \ \ x^{2}+9x+15=0}\)

czyli chyba wychodza 4 możliwe x

re dabros :
haha no właśnie! chodzi mi o wynik raczej niz sposób sposób to ja umiem
poza tym masz błąd
\(\displaystyle{ t+ t^{2} -2s = 42}\) czyli \(\displaystyle{ t+t ^{2} -72 = 0}\)
czyli s=15 a t = -9 lub t = 8 tak mi wychodzi. tylko klucz odrzuca dwie pary rozwiazan, nie wiem dlaczego ?

ale nie trzeba zadnych wynikow odrzucac?

t nie może być ujemne, ponieważ za \(\displaystyle{ t^2}\) podstawiasz \(\displaystyle{ x^2+y^2}\) i jakakolwiek liczba podstawiona za x lub y da liczbę dodatnią, z czego wynika, że nie ma takiego t (ujemnego)

ani za t ani za \(\displaystyle{ t^2}\) nie podstawiam \(\displaystyle{ x^2 + y^2}\).
w zadaniu napisano że \(\displaystyle{ t = x+y}\)
więc za \(\displaystyle{ t^2}\) podstawiam \(\displaystyle{ (x+y) ^2}\)
i dalej nie widzę powodu by t było ujemne. \(\displaystyle{ (x+y)}\) może być mniejsze od zera.

Dlaczego \(\displaystyle{ t = -9}\) jest odrzucane??

Według mnie są 4 rozwiązania.
Chyba, że w treści zadania podano, że mają to być pary liczb całkowitych lub naturalnych.

Nic o tym nie pisze. Jedynie : wprowadzając niewiadome pomocnicze rozwiąż układ

Wynikiem w odpowiedziach jest jedynie \(\displaystyle{ (x,y)=(3.5)}\) lub \(\displaystyle{ (x,y)=(5.3)}\) i to się zgadza z jednym z równań

lata mijają, a zagadki nikt nie rozwiązał.

Jak nie jak tak.

tzn. nikt ostatecznie nie stwierdził, że książka jest w błędzie

W książce jest błąd. Powinny być cztery rozwiązania.

Tak jest błąd, przynajmniej w wydaniu "2015...". Po 9 latach rozwiewam wątpliwości ;D Pozostałe rozwiązania to:

\(\displaystyle{ (x,y)= ( \frac{-9- \sqrt{21} }{2}, \frac{-9+ \sqrt{21} }{2} )}\)

\(\displaystyle{ (x,y)= (\frac{-9+ \sqrt{21} }{2},\frac{-9- \sqrt{21} }{2} )}\)