Dla jakich wartosci parametru rownanie ma rozwiazanie

[szyms]

Zad.
Dla jakich wartosci parametru m rownanie \(\displaystyle{ msin^{2}x+2sinx-2m=0}\) ma rozwiazanie ?

Z gory dzieki.

[mcsQueeb]

hmm nie robilem takich zadan nigdy ale sprobuj podlozyc za sinx pomocnicza t.
sinx= t
mt^2 +2t -2m = 0

I delta wieksza lub rowna zero dla tego rownania

[enigm32]

Dokładnie, wygląda to tak:

I. \(\displaystyle{ m = 0}\)
Wtedy równanie wygląda następująco:
\(\displaystyle{ m\sin^2(x) + 2\sin(x)-2m=0}\)
\(\displaystyle{ 2\sin(x)=0}\)
\(\displaystyle{ \sin(x)=0}\) - nieskończenie wiele rozwiązań, czyli dla m=0 rozwiązanie jest

II \(\displaystyle{ m 0}\)
Wtedy równanie jest równaniem kwadratowym:
\(\displaystyle{ m\sin^2(x) + 2\sin(x)-2m=0}\)

Można tu podłożyć pomocniczą niewiadomą np. k, albo trakotwac \(\displaystyle{ \sin(x)}\) jako zmienną.
Gdy podłożymy k za \(\displaystyle{ \sin(x)}\), to mamy:

\(\displaystyle{ mk^2 + 2k - 2m=0}\)
Jest to równanie kwadratowe więc, aby miało pierwiastki wyróżnik (delta) musi być nieujemna, czyli

\(\displaystyle{ 4+8m^2 qslant 0}\)
Oczywiście warunek ten jest spełniony dla każdego \(\displaystyle{ m R}\)

Ale to nie wystarczy, ponieważ zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ \sin(x)=}\), to musimy położyć warunek, że \(\displaystyle{ \sin(x)=k }\)

Czyli \(\displaystyle{ k qslant -1 k qslant 1}\)
I ten warunek rozwiązać, np analizując graficznie lub w jakikolwiek sposób. Otrzymane parametry m, któe sełniają ten warunek oraz parametr m=1 będą rozwiązaniem zadania.
Mam nadzieje, że pomogłem i wszystko w miare jasno wytłumaczyłem.

[szyms]

W rozwiazaniach jest ze m nalezy do wiec cos sie niestety nie zgadza.

Ale dzieki za checi. Postaram sie cos wymyslic ..

[enigm32]

Wszystko się zgadza, bo właśnie dla takich m, te dwa ostatnie warunki z k będą spełnione, tylko ja ich już nie rozwiązywałem, bo to tylko formalność i fajnie można to zrobić kładąc warunki analizując graficznie położenie wkresu tej funkcji, a tu cięzko byłoby mi to przedstawić wszystko. także wszystko jest ok, tylko dokoncz te dwa warunki, które postawiłem na końcu. Pzdr.