Zbiór zadań - F. LINIOWA I KWADRATOWA

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

Zbiór zadań - F. LINIOWA I KWADRATOWA

Post autor: Arek » 11 maja 2005, o 11:30

ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - FUNKCJA LINIOWA I KWADRATOWA
(po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek z rozwiązaniem)
Aktualizacja: 07.09.2011

1. Wyznacz wartość \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) tak, aby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) były pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^2+px+q=0}\).

2. Znajdź pierwiastki równania za pomocą wzorów Viete’a: \(\displaystyle{ 0 = x^2 - 5x + 6}\).

3. Oblicz sumę odwrotności pierwiastków równania \(\displaystyle{ x^2 + nx + m = 0}\).

4. Napisać równanie paraboli otrzymanej przez przesuniecie paraboli \(\displaystyle{ y=x^2}\) o wektor \(\displaystyle{ [-1,2]}\).

5. Wiedząc, że miejscami zerowymi paraboli \(\displaystyle{ y=2x^2+bx+c}\) są liczby: \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\), napisać jej równanie.

6. Oblicz deltę w równaniu: \(\displaystyle{ (m^2 - 4)x^2 + (m + 3)x - \frac{1}{2-m} = 0}\).

7. Znaleźć trójmian kwadratowy wiedząc, że suma jego pierwiastków jest równa \(\displaystyle{ 8}\), suma odwrotności jego pierwiastków jest równa \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) i dla \(\displaystyle{ x=0}\) przyjmuje on wartość \(\displaystyle{ 24}\).

8. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) równanie \(\displaystyle{ 3x^2+kx+3=0}\) ma dwa różne pierwiastki?

9. Dana jest funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c}\). Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ f(1)=0}\), \(\displaystyle{ f(2)=1}\) oraz \(\displaystyle{ f(3)=4}\), to \(\displaystyle{ f(n)=(n-1)^2}\).

10. Liczby \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) są pierwiastkami równania: \(\displaystyle{ x^2+px+q=0}\). Napisać równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są liczby \(\displaystyle{ x_1 + x_2}\) oraz \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2}\).

11. Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ x^2 + 4x + 4 = 1}\).

12. Określ znak współczynnika \(\displaystyle{ c}\) trójmianu \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) jeśli wiesz, że \(\displaystyle{ a+b+c^2+2ax+b^2}\) i \(\displaystyle{ x^2+2bx+c^2}\) ma dwa pierwiastki rzeczywiste, to trójmian \(\displaystyle{ x^2+2cx+a^2}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.

13. Wyprowadzić wzór na wyróżnik i pierwiastki równania kwadratowego.

14. Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której wykres przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ (1,-7)}\) i \(\displaystyle{ (-1,-27)}\), a wartością największą jest liczba \(\displaystyle{ 9}\).

15. Niech f będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje największą wartość funkcji \(\displaystyle{ g(x)=\left|x^2 + m\right|}\) w przedziale . Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f.

16. Niech f będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje największą wartość funkcji \(\displaystyle{ g(x)=x^2 - (m^2 - 4)}\) w przedziale . Podaj wzór funkcji \(\displaystyle{ f}\) oraz sporządź jej wykres.

17. Niech f będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę pierwiastków równania: \(\displaystyle{ \left( x^{2} - 1 - m \right) \left( |x| -1-m \right) = 0}\). Sporządź wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\).

18. Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są długościami boków dowolnego trójkąta, to równanie \(\displaystyle{ b^{2}x^{2}+(b^{2}+c^{2}-a^{2})x+c^{2} = 0}\) nie ma pierwiastków.

19. Wyznacz wszystkie wartości całkowite \(\displaystyle{ a}\), dla których równanie \(\displaystyle{ x^2+ax+a=0}\) ma pierwiastek całkowity.

20. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) pierwiastki równania \(\displaystyle{ 5x^{2}-5(m-1)x+6m=0}\) są odpowiednio sinusem i cosinusem tego samego kąta ostrego?

21. Odgłos upadającego na dno studni kamienia usłyszano w \(\displaystyle{ 4\text{s}}\) od chwili swobodnego puszczenia go. Oblicz głębokość tej studni, przyjmując prędkość głosu \(\displaystyle{ 330 \frac{\text{m}}{\text{s}}}\) i przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{ 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\).

22. Suma liczb wierzchołków dwóch wielokątów wypukłych wynosi 21. Jeden z tych wielokątów ma dwa razy więcej przekątnych niż drugi. Ile wierzchołków ma każdy z tych wielokątów?

23. Przednie koło wozu wykonuje na drodze o długości 14 km o 3000 obrotów więcej niż tylne. Jeżeli obwody tych kół powiększymy o pól metra , to na tej samej drodze przednie koło wykona o 2100 obrotów więcej niż tylne. Wyznacz obwód każdego z tych kół.

24. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) prosta o równaniu \(\displaystyle{ x-y+a=0}\) będzie rozłączna z kołem o środku \(\displaystyle{ S=(-1,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=\sqrt{2}}\)?

25. Wyznacz współczynniki \(\displaystyle{ a, b}\) funkcji kwadratowej, jeżeli wiesz, że \(\displaystyle{ f(x)=ax^2 + bx + 2}\) osiąga maksimum w punkcie \(\displaystyle{ (3,11)}\).

26. Dla jakich wartości m funkcja \(\displaystyle{ y=(8-2m)x-1}\) jest rosnąca?

27. Jaką figurą na plaszczyźnie jest zbiór wierzchołków parabol o równaniach \(\displaystyle{ y = x^2 + ax + a}\)?

28. Dla jakich wartosci parametru m pierwiastki równania \(\displaystyle{ (2m+1)x^2 -(m+3)x + 2m+1 = 0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > 1}\)?

29. Z miast A i B wyruszają jednocześnie naprzeciw siebie pociągi jadące ze stała predkoscią. Jeden z nich jedzie z prędkoscia dwukrotnie wieksza niz drugi. Spotykaja się po godzinie i 20 minutach. Gdyby wolniejszy pociąg jechał z prędkoscią o 10 km/h większą, to spotkanie nastapiłoby po godzinie i 12 minutach. Jaka jest odległość z A do B?

30. Wyznaczyć sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego (które takowe posiada).

31. Własciciel kina stwierdził, że przy cenie biletu wynoszącej 10 zł, na seans przychodzi srednio 100 osób, a podniesienie ceny biletu o kazdą złotówkę powoduje, że liczba widzów zmniejsza sie o 5. Jaką cenę biletu nalezy ustalić, aby dochód kina był największy?

32. Dane jest równanie paraboli:
\(\displaystyle{ y=mx^2 + 2(m-1)x + m^2}\).
a) Dla jakich wartościu parametru \(\displaystyle{ m}\) wierzchołek paraboli ma rzędną zawartą w przedziale \(\displaystyle{ (1,5)}\)
b) Dla wartości \(\displaystyle{ m=1}\) napisz równanie stycznych do tej paraboli przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{3}{4} \right)}\).

33. Wyznaczyć odciętą wierzcholka paraboli funkcji \(\displaystyle{ Z(t) = - \frac{1}{84} t^2 + \frac{1}{14} t + 24}\).

34. Obliczyć miejsce zerowe funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 4-x^2 \ \text{dla} \ x \le 1 \\ -2x+5 \ \text{dla} \ x>1 \end{cases}}\).

35. Jak narysować wykres funkcji \(\displaystyle{ y = \sqrt{|x^2 - 6x + 8|}}\)?

36. Obliczyć zależność pomiędzy parametrami \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) aby pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^2+px+q=0}\) były sinusem i cosinusem tego samego kąta.

37. Znajdź równania stycznych do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{2x^2 - 1}{x}}\), z których każda razem z osiami układu współrzędnych ogranicza trójkąt o polu \(\displaystyle{ 1}\).

38. Wykonaj wykres funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) określonej wzorem \(\displaystyle{ f(x)=-4x+3}\) i \(\displaystyle{ g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}\), takiej że \(\displaystyle{ f(x) + g(y) = x^2 + xy + y^2}\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).

39. Obwód prostokąta jest równy 80. Budujemy kwadrat o boku długości przekątnej prostokąta . Dla jakich długości boków prostokąta kwadrat ma najmniejsze pole?

40. Współczynniki funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ f(x)=-x^2+bx+c}\) tworzą w kolejności \(\displaystyle{ -1,b,c}\) ciąg geometryczny. Wyznacz wartości współczynników b i c jeżeli wiadomo że osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta \(\displaystyle{ x=1}\). Zapisz funkcję w postaci kanonicznej.

41. Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe : \(\displaystyle{ x_1=0}\) i \(\displaystyle{ x_2=12}\). Swoje maksimum funkcja przyjmuje w punkcie P\(\displaystyle{ =(6,4)}\). Jej ramiona skierowane są w dół. Znajdź wzór tej funkcji.

42. W prostokącie ABCD o długościach boków: AB=10cm, AD=8cm obrano dwa punkty wewnętrzne M i N, takie że MN prostopadłe do AB i AM=MD=NC=NB. Wyznacz odległość punktów M i N tak, aby suma kwadratów długości odcinków AM, DM, NM, NB, NC była jak najmniejsza.

43. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ y = \sqrt{|x-1| - 2}}\).

44. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^2+bx+4}\). Wyznacz wspolczynnik \(\displaystyle{ b}\), wiedząc że moduł różnicy miejsc zerowych tej funkcji jest równy \(\displaystyle{ 3}\).

45. Prosta \(\displaystyle{ k}\) przecina proste o równaniach \(\displaystyle{ y=4}\) i \(\displaystyle{ x=3}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ R}\). Wyznacz równanie prostej \(\displaystyle{ k}\), wiedząc że punkt \(\displaystyle{ S =(1,2)}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ PR}\).

46. Z drutu o długości 100 zrobiono szkielet prostopadłościanu o podstawie kwadratowej. Przy jakiej długości krawędzi podstawy pole powierzchni całkowitej ma wartość największą?

47. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ y =\sqrt{x}}\) oraz punkt \(\displaystyle{ A=(2,0)}\). Oblicz najmniejszą odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od wykresu.

48. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) funkcja \(\displaystyle{ 2m^2 - 5m - 3}\) osiąga minimum?

49. Wyznacz parametr \(\displaystyle{ m}\), aby iloczyn pierwiastków równania \(\displaystyle{ x^2 + \left( 2-3m \right) x+ \left( 2m^2 - 5m-3 \right) = 0}\) był jak najmniejszy.

50. Dla jakich wartości parametru m, równanie \(\displaystyle{ x^2- 2mx +m^2-1=0}\) ma dwa rozwiązania w przedziale \(\displaystyle{ \left<-2,4\right>}\).

51. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), suma kwadratów pierwiastków równania \(\displaystyle{ x^2 - (m-5)x + m^2 - 6m + 5 = 0}\) jest większa od 7?

52. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), rozwiązania \(\displaystyle{ x_{1} , \ x_{2}}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x \in \left( x_{1};x_{2} \right)}\), jeżeli równanie ma postać \(\displaystyle{ x^2 - 4mx +3m^2 = 0}\).

53. Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) suma kwadratów rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^2 +mx+4=0}\) jest dwa razy wieksza od sumy tych rozwiązań?

54. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych równania \(\displaystyle{ x^2-mx+m-1=0}\) jest najmniejsza.

55. Dla jakich wartości parametru a równanie \(\displaystyle{ x^2-2(a-2)x-4a=0}\) ma:
1) rozwiązania rzeczywiste
2) rozwiązania są znaków przeciwnych
3) oba rozwiązania są liczbami dodatnimi?

56. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^3 - 3x^2 - 9x + 27}\). Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ f(x)=m (x^2 - 9)}\) ma dokładnie dwa różne miejsca zerowe?

57. Znajdź zbiór punktów przecięcia stycznych do funkcji \(\displaystyle{ x^2}\), jesli te styczne są do siebie prostopadłe.

58. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= x^{2} + (5-3k)x + k^{2} - 4k + 3}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\). Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} < 7x_{1}x_{2}}\).

59. Korzystając ze wzorów Vieta'a, uzasadnij, że jeżeli funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, to pierwsza współrzędna wierzchołka jest ich średnią arytmetyczną.

60. Dane sa funkcje f i g okreslone wzorami: \(\displaystyle{ f(x)=2x^{2}+bx+c, \ g(x)=2x + m}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\). Wyznacz wartości współczynnikow b i c wiedzac, ze miejscami zerowymi funkcji f jest \(\displaystyle{ -2}\) oraz \(\displaystyle{ 3}\).

61. Mamy 2 funkcje: \(\displaystyle{ f(x)=-2x^2+2x+6}\) oraz prosta k: \(\displaystyle{ g(x)=2x+2}\). Opisać układem nierówności figurę G ograniczoną przez parabolę i prostą k.

62. Funkcja \(\displaystyle{ y=2^{\sin x}}\) jest:
a) monotoniczna
b) okresowa
c) ograniczona

63. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x) = 2x^2 - 8x + c}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\). Wyznacz wartosc współczynnik c wiedząc, że zbiorem wartości funkcji f jest przedział \(\displaystyle{ \left<4,+\infty\right)}\).

64. Dla jakiego parametru m funkcja o wzorze \(\displaystyle{ f(x) = (m-2)^2x + 6}\) jest parzysta.?

65. Okresem podstawowym funkcji \(\displaystyle{ \tg(2x)}\) jest:
a) \(\displaystyle{ \pi}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)
c) \(\displaystyle{ 2\pi}\)

Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Zbiór zadań - F. LINIOWA I KWADRATOWA

Post autor: klaustrofob » 21 mar 2009, o 09:12

Czy ktoś mógłby poprawić zapis w zadaniach 2, 44, 46? 39 też by się przydało. Zadania 72 i 75 to tak dla zmyłki?

Vekk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 28 lut 2009, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 6 razy

Zbiór zadań - F. LINIOWA I KWADRATOWA

Post autor: Vekk » 28 mar 2009, o 19:44

w rozwiązaniu zadania 32 jest błąd:
powinno być \(\displaystyle{ y= -\frac{a ^{2}-4a }{4}}\) zamiast \(\displaystyle{ y= \frac{a ^{2}-4a }{4}}\)
w ostatnim poście zad. 40 dziedzina jest źle wyliczona - pod pierwiastkiem jest moduł, więc x jest dowolną liczbą rzeczywistą

Zablokowany