Zbiór zadań - F. LINIOWA I KWADRATOWA

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin

Zbiór zadań - F. LINIOWA I KWADRATOWA

Post autor: Arek » 11 maja 2005, o 11:30

[size=150]
[center]ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - FUNKCJA LINIOWA I KWADRATOWA[/center]
[/size]

[center](po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek z rozwiązaniem)[/center]

[center][color=green]Aktualizacja: 07.09.2011[/color][/center]



[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=270][b]1.[/b][/url] Wyznacz wartość [latex]p[/latex] i [latex]q[/latex] tak, aby [latex]p[/latex] i [latex]q[/latex] były pierwiastkami równania [latex]x^2+px+q=0[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=293][b]2.[/b][/url] Znajdź pierwiastki równania za pomocą wzorów Viete’a: [latex]0 = x^2 - 5x + 6[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=293][b]3.[/b][/url] Oblicz sumę odwrotności pierwiastków równania [latex]x^2 + nx + m = 0[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=397][b]4.[/b][/url] Napisać równanie paraboli otrzymanej przez przesuniecie paraboli [latex]y=x^2[/latex] o wektor [latex][-1,2][/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=397][b]5.[/b][/url] Wiedząc, że miejscami zerowymi paraboli [latex]y=2x^2+bx+c[/latex] są liczby: [latex]0[/latex] oraz [latex]2[/latex], napisać jej równanie.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=537][b]6.[/b][/url] Oblicz deltę w równaniu: [latex](m^2 - 4)x^2 + (m + 3)x - \frac{1}{2-m} = 0[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=547][b]7.[/b][/url] Znaleźć trójmian kwadratowy wiedząc, że suma jego pierwiastków jest równa [latex]8[/latex], suma odwrotności jego pierwiastków jest równa [latex]\frac{2}{3}[/latex] i dla [latex]x=0[/latex] przyjmuje on wartość [latex]24[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=547][b]8.[/b][/url] Dla jakich wartości parametru [latex]k[/latex] równanie [latex]3x^2+kx+3=0[/latex] ma dwa różne pierwiastki?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=547][b]9.[/b][/url] Dana jest funkcja kwadratowa [latex]f(x)=ax^2+bx+c[/latex]. Wykazać, że jeżeli [latex]f(1)=0[/latex], [latex]f(2)=1[/latex] oraz [latex]f(3)=4[/latex], to [latex]f(n)=(n-1)^2[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=547][b]10.[/b][/url] Liczby [latex]x_1, x_2[/latex] są pierwiastkami równania: [latex]x^2+px+q=0[/latex]. Napisać równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są liczby [latex]x_1 + x_2[/latex] oraz [latex]x_1\cdot x_2[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=868][b]11.[/b][/url] Rozwiąż równanie: [latex]x^2 + 4x + 4 = 1[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=990][b]12.[/b][/url] Określ znak współczynnika [latex]c[/latex] trójmianu [latex]ax^2+bx+c[/latex] jeśli wiesz, że [latex]a+b+c^2+2ax+b^2[/latex] i [latex]x^2+2bx+c^2[/latex] ma dwa pierwiastki rzeczywiste, to trójmian [latex]x^2+2cx+a^2[/latex] nie ma pierwiastków rzeczywistych.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1016][b]13.[/b][/url] Wyprowadzić wzór na wyróżnik i pierwiastki równania kwadratowego.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1028][b]14.[/b][/url] Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której wykres przechodzi przez punkty [latex](1,-7)[/latex] i [latex](-1,-27)[/latex], a wartością największą jest liczba [latex]9[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1028][b]15.[/b][/url] Niech f będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje największą wartość funkcji [latex]g(x)=\left|x^2 + m\right|[/latex] w przedziale . Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1028][b]16.[/b][/url] Niech f będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje największą wartość funkcji [latex]g(x)=x^2 - (m^2 - 4)[/latex] w przedziale . Podaj wzór funkcji [latex]f[/latex] oraz sporządź jej wykres.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1028][b]17.[/b][/url] Niech f będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę pierwiastków równania: [latex]\left( x^{2} - 1 - m \right) \left( |x| -1-m \right) = 0[/latex]. Sporządź wykres funkcji [latex]f[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1067][b]18.[/b][/url] Udowodnić, że jeżeli [latex]a,b,c[/latex] są długościami boków dowolnego trójkąta, to równanie [latex]b^{2}x^{2}+(b^{2}+c^{2}-a^{2})x+c^{2} = 0[/latex] nie ma pierwiastków.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1131][b]19.[/b][/url] Wyznacz wszystkie wartości całkowite [latex]a[/latex], dla których równanie [latex]x^2+ax+a=0[/latex] ma pierwiastek całkowity.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1131][b]20.[/b][/url] Dla jakich wartości parametru [latex]m[/latex] pierwiastki równania [latex]5x^{2}-5(m-1)x+6m=0[/latex] są odpowiednio sinusem i cosinusem tego samego kąta ostrego?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1329][b]21.[/b][/url] Odgłos upadającego na dno studni kamienia usłyszano w [latex]4\text{s}[/latex] od chwili swobodnego puszczenia go. Oblicz głębokość tej studni, przyjmując prędkość głosu [latex]330 \frac{\text{m}}{\text{s}}[/latex] i przyspieszenie ziemskie [latex]10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1329][b]22.[/b][/url] Suma liczb wierzchołków dwóch wielokątów wypukłych wynosi 21. Jeden z tych wielokątów ma dwa razy więcej przekątnych niż drugi. Ile wierzchołków ma każdy z tych wielokątów?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1450][b]23.[/b][/url] Przednie koło wozu wykonuje na drodze o długości 14 km o 3000 obrotów więcej niż tylne. Jeżeli obwody tych kół powiększymy o pól metra , to na tej samej drodze przednie koło wykona o 2100 obrotów więcej niż tylne. Wyznacz obwód każdego z tych kół.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1450][b]24.[/b][/url] Dla jakich wartości parametru [latex]a[/latex] prosta o równaniu [latex]x-y+a=0[/latex] będzie rozłączna z kołem o środku [latex]S=(-1,0)[/latex] i promieniu [latex]r=\sqrt{2}[/latex]?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1660][b]25.[/b][/url] Wyznacz współczynniki [latex]a, b[/latex] funkcji kwadratowej, jeżeli wiesz, że [latex]f(x)=ax^2 + bx + 2[/latex] osiąga maksimum w punkcie [latex](3,11)[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2407][b]26.[/b][/url] Dla jakich wartości m funkcja [latex]y=(8-2m)x-1[/latex] jest rosnąca?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2581][b]27.[/b][/url] Jaką figurą na plaszczyźnie jest zbiór wierzchołków parabol o równaniach [latex]y = x^2 + ax + a[/latex]?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2687][b]28.[/b][/url] Dla jakich wartosci parametru m pierwiastki równania [latex](2m+1)x^2 -(m+3)x + 2m+1 = 0[/latex] spełniają warunek [latex]\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > 1[/latex]?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2772][b]29.[/b][/url] Z miast A i B wyruszają jednocześnie naprzeciw siebie pociągi jadące ze stała predkoscią. Jeden z nich jedzie z prędkoscia dwukrotnie wieksza niz drugi. Spotykaja się po godzinie i 20 minutach. Gdyby wolniejszy pociąg jechał z prędkoscią o 10 km/h większą, to spotkanie nastapiłoby po godzinie i 12 minutach. Jaka jest odległość z A do B?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3086][b]30.[/b][/url] Wyznaczyć sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego (które takowe posiada).

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3089][b]31.[/b][/url] Własciciel kina stwierdził, że przy cenie biletu wynoszącej 10 zł, na seans przychodzi srednio 100 osób, a podniesienie ceny biletu o kazdą złotówkę powoduje, że liczba widzów zmniejsza sie o 5. Jaką cenę biletu nalezy ustalić, aby dochód kina był największy?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3404][b]32.[/b][/url] Dane jest równanie paraboli:
[latex]y=mx^2 + 2(m-1)x + m^2[/latex].
a) Dla jakich wartościu parametru [latex]m[/latex] wierzchołek paraboli ma rzędną zawartą w przedziale [latex](1,5)[/latex]
b) Dla wartości [latex]m=1[/latex] napisz równanie stycznych do tej paraboli przechodzących przez punkt [latex]\left( 0, \frac{3}{4} \right)[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3218][b]33.[/b][/url] Wyznaczyć odciętą wierzcholka paraboli funkcji [latex]Z(t) = - \frac{1}{84} t^2 + \frac{1}{14} t + 24[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3496][b]34.[/b][/url] Obliczyć miejsce zerowe funkcji [latex]f(x)= \begin{cases} 4-x^2 \ \text{dla} \ x \le 1 \\ -2x+5 \ \text{dla} \ x>1 \end{cases}[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3553][b]35.[/b][/url] Jak narysować wykres funkcji [latex]y = \sqrt{|x^2 - 6x + 8|}[/latex]?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3723][b]36.[/b][/url] Obliczyć zależność pomiędzy parametrami [latex]p[/latex] i [latex]q[/latex] aby pierwiastki równania [latex]x^2+px+q=0[/latex] były sinusem i cosinusem tego samego kąta.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3871][b]37.[/b][/url] Znajdź równania stycznych do wykresu funkcji [latex]f(x) = \frac{2x^2 - 1}{x}[/latex], z których każda razem z osiami układu współrzędnych ogranicza trójkąt o polu [latex]1[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3882][b]38.[/b][/url] Wykonaj wykres funkcji [latex]f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/latex] określonej wzorem [latex]f(x)=-4x+3[/latex] i [latex]g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/latex], takiej że [latex]f(x) + g(y) = x^2 + xy + y^2[/latex] dla wszystkich liczb rzeczywistych [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3979][b]39.[/b][/url] Obwód prostokąta jest równy 80. Budujemy kwadrat o boku długości przekątnej prostokąta . Dla jakich długości boków prostokąta kwadrat ma najmniejsze pole?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4044][b]40.[/b][/url] Współczynniki funkcji kwadratowej [latex]f(x)=-x^2+bx+c[/latex] tworzą w kolejności [latex]-1,b,c[/latex] ciąg geometryczny. Wyznacz wartości współczynników b i c jeżeli wiadomo że osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta [latex]x=1[/latex]. Zapisz funkcję w postaci kanonicznej.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4093][b]41.[/b][/url] Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe : [latex]x_1=0[/latex] i [latex]x_2=12[/latex]. Swoje maksimum funkcja przyjmuje w punkcie P[latex]=(6,4)[/latex]. Jej ramiona skierowane są w dół. Znajdź wzór tej funkcji.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4357][b]42.[/b][/url] W prostokącie ABCD o długościach boków: AB=10cm, AD=8cm obrano dwa punkty wewnętrzne M i N, takie że MN prostopadłe do AB i AM=MD=NC=NB. Wyznacz odległość punktów M i N tak, aby suma kwadratów długości odcinków AM, DM, NM, NB, NC była jak najmniejsza.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4413][b]43.[/b][/url] Rozwiązać równanie [latex]y = \sqrt{|x-1| - 2}[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4490][b]44.[/b][/url] Dana jest funkcja [latex]f(x)=x^2+bx+4[/latex]. Wyznacz wspolczynnik [latex]b[/latex], wiedząc że moduł różnicy miejsc zerowych tej funkcji jest równy [latex]3[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4625][b]45.[/b][/url] Prosta [latex]k[/latex] przecina proste o równaniach [latex]y=4[/latex] i [latex]x=3[/latex] odpowiednio w punktach [latex]P[/latex] i [latex]R[/latex]. Wyznacz równanie prostej [latex]k[/latex], wiedząc że punkt [latex]S =(1,2)[/latex] jest środkiem odcinka [latex]PR[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4814][b]46.[/b][/url] Z drutu o długości 100 zrobiono szkielet prostopadłościanu o podstawie kwadratowej. Przy jakiej długości krawędzi podstawy pole powierzchni całkowitej ma wartość największą?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4816][b]47.[/b][/url] Dana jest funkcja [latex]y =\sqrt{x}[/latex] oraz punkt [latex]A=(2,0)[/latex]. Oblicz najmniejszą odległość punktu [latex]A[/latex] od wykresu.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4830][b]48.[/b][/url] Dla jakich wartości parametru [latex]m[/latex] funkcja [latex]2m^2 - 5m - 3[/latex] osiąga minimum?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4831][b]49.[/b][/url] Wyznacz parametr [latex]m[/latex], aby iloczyn pierwiastków równania [latex]x^2 + \left( 2-3m \right) x+ \left( 2m^2 - 5m-3 \right) = 0[/latex] był jak najmniejszy.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4843][b]50.[/b][/url] Dla jakich wartości parametru m, równanie [latex]x^2- 2mx +m^2-1=0[/latex] ma dwa rozwiązania w przedziale [latex]\left<-2,4\right>[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4871][b]51.[/b][/url] Dla jakich wartości parametru [latex]m[/latex], suma kwadratów pierwiastków równania [latex]x^2 - (m-5)x + m^2 - 6m + 5 = 0[/latex] jest większa od 7?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4929][b]52.[/b][/url] Dla jakich wartości parametru [latex]m[/latex], rozwiązania [latex]x_{1} , \ x_{2}[/latex] spełniają warunek [latex]x \in \left( x_{1};x_{2} \right)[/latex], jeżeli równanie ma postać [latex]x^2 - 4mx +3m^2 = 0[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4872][b]53.[/b][/url] Dla jakiej wartości parametru [latex]m[/latex] suma kwadratów rozwiązań równania [latex]x^2 +mx+4=0[/latex] jest dwa razy wieksza od sumy tych rozwiązań?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4877][b]54.[/b][/url] Dla jakich wartości parametru [latex]m[/latex] suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych równania [latex]x^2-mx+m-1=0[/latex] jest najmniejsza.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4928][b]55.[/b][/url] Dla jakich wartości parametru a równanie [latex]x^2-2(a-2)x-4a=0[/latex] ma:
1) rozwiązania rzeczywiste
2) rozwiązania są znaków przeciwnych
3) oba rozwiązania są liczbami dodatnimi?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=5038][b]56.[/b][/url] Dana jest funkcja [latex]f(x)=x^3 - 3x^2 - 9x + 27[/latex]. Dla jakich wartości parametru [latex]m[/latex] równanie [latex]f(x)=m (x^2 - 9)[/latex] ma dokładnie dwa różne miejsca zerowe?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4993][b]57.[/b][/url] Znajdź zbiór punktów przecięcia stycznych do funkcji [latex]x^2[/latex], jesli te styczne są do siebie prostopadłe.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=5250][b]58.[/b][/url] Dana jest funkcja [latex]f(x)= x^{2} + (5-3k)x + k^{2} - 4k + 3[/latex], gdzie [latex]x\in \mathbb{R}[/latex]. Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie [latex]f(x)=0[/latex] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste [latex]x_{1}, x_{2}[/latex] spełniające warunek [latex]x_{1}^{2} + x_{2}^{2} < 7x_{1}x_{2}[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=5333][b]59.[/b][/url] Korzystając ze wzorów Vieta'a, uzasadnij, że jeżeli funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, to pierwsza współrzędna wierzchołka jest ich średnią arytmetyczną.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=5636][b]60.[/b][/url] Dane sa funkcje f i g okreslone wzorami: [latex]f(x)=2x^{2}+bx+c, \ g(x)=2x + m[/latex], gdzie [latex]x\in \mathbb{R}[/latex]. Wyznacz wartości współczynnikow b i c wiedzac, ze miejscami zerowymi funkcji f jest [latex]-2[/latex] oraz [latex]3[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=5651][b]61.[/b][/url] Mamy 2 funkcje: [latex]f(x)=-2x^2+2x+6[/latex] oraz prosta k: [latex]g(x)=2x+2[/latex]. Opisać układem nierówności figurę G ograniczoną przez parabolę i prostą k.

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?p=30000#30000][b]62.[/b][/url] Funkcja [latex]y=2^{\sin x}[/latex] jest:
a) monotoniczna
b) okresowa
c) ograniczona

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?p=30197#30197][b]63.[/b][/url] Dana jest funkcja [latex]f(x) = 2x^2 - 8x + c[/latex], gdzie [latex]x \in \mathbb{R}[/latex]. Wyznacz wartosc współczynnik c wiedząc, że zbiorem wartości funkcji f jest przedział [latex]\left<4,+\infty\right)[/latex].

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?p=30551#30551][b]64.[/b][/url] Dla jakiego parametru m funkcja o wzorze [latex]f(x) = (m-2)^2x + 6[/latex] jest parzysta.?

[url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?p=30769#30769][b]65.[/b][/url] Okresem podstawowym funkcji [latex]\tg(2x)[/latex] jest:
a) [latex]\pi[/latex]
b) [latex]\frac{\pi}{2}[/latex]
c) [latex]2\pi[/latex]

Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław

Zbiór zadań - F. LINIOWA I KWADRATOWA

Post autor: klaustrofob » 21 mar 2009, o 09:12

Czy ktoś mógłby poprawić zapis w zadaniach 2, 44, 46? 39 też by się przydało. Zadania 72 i 75 to tak dla zmyłki?

Vekk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 28 lut 2009, o 17:28
Płeć: Mężczyzna

Zbiór zadań - F. LINIOWA I KWADRATOWA

Post autor: Vekk » 28 mar 2009, o 19:44

w rozwiązaniu zadania 32 jest błąd: powinno być \(y= -\frac{a ^{2}-4a }{4}\) zamiast \(y= \frac{a ^{2}-4a }{4}\) w ostatnim poście zad. 40 dziedzina jest źle wyliczona - pod pierwiastkiem jest moduł, więc x jest dowolną liczbą rzeczywistą

Zablokowany