(2 zadania) Rozwiąż równania z pierwiastkiem

[basia]

wyznaczyć liczby wymierne a,b takie, aby:
a) sqrt(6+sqrt(11))=sqrt(a)+sqrt(b)
b) sqrt(6-4sqrt(2))=sqrt(a)-sqrt(b)

[Skrzypu]

a) sqrt(6+sqrt(11))=sqrt(a)+sqrt(b)

Podnosisz do kwadratu obie strony

6+sqrt(11)=a+b+2sqrt(ab)

Skoro a, b są liczbami wymiernymi, a liczba sqrt(11) jest niewymierna więc powstanie nam taki układ równań:

a+b=6
sqrt(11)=2sqrt(ab)

a+b=6
11=4ab

b=6-a
11=4a(6-a)

11=24a-4a^2
b=6-a

4a^2-24a+11=0
b=6-a

a=0,5 i b=5,5
lub
a=5,5 i b=0,5

b) sqrt(6-4sqrt(2))=sqrt(a)-sqrt(b)
Podnosimyu do kwadratu

6-4sqrt(2)=a+b-2sqrt(ab)
i robimy tak samo skoro a, b są wymierne to

a+b=6
-4sqrt(2)=-2sqrt(ab)

b=6-a
2sqrt(2)=sqrt(ab)

ab=8
b=6-a

a(6-a)=8
b=6-a

6a-a^2=8
b=6-a

a^2-6a+8=0
b=6-a

a=4 i b=2
lub
a=2 i b=4

[basia]

dzięki Skrzypu