Pierwiastki różnych znaków

[41421356237]

Dzień dobry,

Mam pytanie odnośnie delty. W zadaniu z funkcji kwadratowej z parametrem (\(\displaystyle{ a\neq 0}\)) trzeba wyznaczyć parametr tak, aby równanie miało rozwiązania różnych znaków. Czy muszę wówczas uwzględniać warunek \(\displaystyle{ \Delta> 0}\)? We wzorach Viete'a na iloczyn tej delty już nie ma przecież. Czy w tym przypadku to nie jest dokładanie sobie dodatkowej, zbędnej roboty?

[Janusz Tracz]

Aby pytać o znak pierwiastków musisz najpierw zagwarantować, że takowe pierwiastek rzeczywiste istnieją. Więc trzeba to założyć.

[Gouranga]

Z delty masz:
\(\displaystyle{

\Delta = b^2 - 4ac > 0\\
b^2 > 4ac\\
ac < \frac{b^2}{4}
}\)

A z Viete'a
\(\displaystyle{
\frac{c}{a} < 0\\
ac < 0
}\)

i teraz ponieważ:
\(\displaystyle{
b^2 \ge 0\\
\frac{b^2}{4} \ge 0\\
ac < 0 \wedge ac < \frac{b^2}{4} \Rightarrow ac < 0
}\)

więc w przypadku różnych znaków sam wzór Viete'a jest bardziej zawężającym kryterium niż sam warunek istnienia dwóch pierwiastków rzeczywistych i w mojej ocenie możesz się takim argumentem podpierać żeby nie liczyć dla jakiego parametru \(\displaystyle{ \Delta > 0}\)

[41421356237]

Rozumiem, ale ten warunek z iloczynem we wzorze Viete'a jest silniejszy i z niego w sposób oczywisty wynika delta większa od zera.

Gouranga właśnie o to mi chodziło.

[Janusz Tracz]

Z takim wnioskowaniem trzeba uważać. Jeśli nie założysz, że \(\displaystyle{ \Delta>0}\) to teoretycznie dopuszczasz zespolone pierwiastki, wzory Viete'a dalej działają. Teoretycznie możesz mieć więc dwa zespolone pierwiastki \(\displaystyle{ x_1,x_2\in \CC \setminus \RR}\) takie, że \(\displaystyle{ \RR \ni x_1x_2<0}\) ale relacje \(\displaystyle{ x_1<0}\) oraz \(\displaystyle{ x_2>0}\) nie bądę miały sensu bo na \(\displaystyle{ \CC}\) nie ma porządku \(\displaystyle{ <}\). Więc stwierdzenie, że są to pierwiastki różnych znaków nie będzie miało sensu. To raczej się nie zdarzy o ile \(\displaystyle{ a,b,c\in \RR}\) bo wtedy warunek \(\displaystyle{ ac<0}\) jest silniejszy od \(\displaystyle{ \Delta>0}\) ale uważam, że wymaga to komentarza bo nie jest to natychmiastowe.

Jeśli jednak na początku powiesz, że \(\displaystyle{ \Delta>0}\) to odcinasz się od tych nonsensów. Nie ma wtedy miejsca na domysły co jeśli \(\displaystyle{ x_1,x_2\in \CC \setminus \RR}\), choć faktycznie przy \(\displaystyle{ a,b,c\in\RR}\) to nie zajdzie.

[41421356237]

Chodzi w gruncie rzeczy o to, że często te warunki z deltą są bardziej pracochłonne i w tym konkretnym zadaniu odrzucamy sobie niepotrzebnej roboty. O wiele szybszy będzie komentarz:

\(\displaystyle{ \frac{c}{a}<0 \\ ac<0 \\ -4ac>0 \\ b^2-4ac>b^2>0 \\ \Delta >0}\)

[a4karo]

Ale to jest rozumowanie dokładnie w drugą stronę: jeżeli są dwa pierwiastki różnych znaków, to wyróżnik jest dodatni. A nie o to chodzi

[Janusz Tracz]

Rzecz w tym, że ten komentarz to trochę mało. Myślisz nieźle ale brakuje pewnej rzeczy. Faktycznie to działa ale kluczowe to jest założenie, że \(\displaystyle{ a,b,c\in\RR}\). Bo jeśli to się nigdzie nie pojawi to czytelnik może mieć wrażanie, że skoro dopuszczasz zespolone pierwiastki i słowem tego nie komentujesz (na co teoretycznie pozwala \(\displaystyle{ \Delta<0}\)) to równie dobrze możesz dopuścić zespolone parametry \(\displaystyle{ a,b,c}\) i też tego nie komentować?. A w tak ogólnej wersji spełnienie warunku \(\displaystyle{ ac<0}\) będzie niewystarczające bo relacje \(\displaystyle{ x_1<0}\) oraz \(\displaystyle{ x_2>0}\) mogą nie mieć sensu. Podsumowując jeśli \(\displaystyle{ a,b,c\in\RR}\) to

\(\displaystyle{ ac<0 \Rightarrow \Delta>0 }\)

więc również implikacja

\(\displaystyle{ ac<0 \Rightarrow \text{istnieją dwa różne rzeczywiste pierwiastki}}\)

jest prawdziwa. A ponieważ nasze potencjalnie zespolone pierwiastki będą jednak rzeczywiste (to wymagało komentarza) to jest sens mówić, że \(\displaystyle{ x_1<0}\) oraz \(\displaystyle{ x_2>0}\). Jeśli taki komentarz się nie pojawi to czytelnik może się zastanawiać czy jest możliwa sytuacja w której \(\displaystyle{ x_1,x_2\in\CC \setminus \RR}\) oraz \(\displaystyle{ x_1x_2<0}\). Jak się okazuje takiej sytuacji nie będzie co nieznaczny, że można to przemilczeć. W szkole implikacje

\(\displaystyle{ (\forall a,b,c\in\RR)\left( ac<0 \Rightarrow \text{istnieją dwa różne rzeczywiste pierwiastki}\right) }\)

\(\displaystyle{ (\forall a,b,c\in\RR)\left( ac<0 \Rightarrow \text{istnieją dwa różne rzeczywiste pierwiastki które są różnych znaków}\right) }\)

nie są raczej powszechnie znane. Ostatecznie dochodzimy to tego co trzeba. Tylko po drodze i tak pokazaliśmy, że istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste czyniąc tym samym jakiś dobry kontekst dla relacji \(\displaystyle{ <}\), a potem, że są to pierwiastki różnych znaków.

[41421356237]

Ale to jest rozumowanie dokładnie w drugą stronę: jeżeli są dwa pierwiastki różnych znaków, to wyróżnik jest dodatni. A nie o to chodzi

No właśnie o to chodzi. Formułujemy warunek, dla którego nasze pierwiastki cechują się pewną własnością, a warunek ten zawiera w sobie (implikacja oczywiście tylko w jedną stronę) samo istnienie tychże pierwiastków. Nic zdrożnego w tym nie widzę.