Matematyka.pl

Udowodnij, że dla dowolnych liczb x i y, prawdziwa jest nierówność: \(\displaystyle{ 2x^{2}+5y^{2}=10 > 6xy + 4y}\).

Zawsze bawiłem się tymi dowodami udowadniając je funkcją z parametrem, lecz zauważyłem, że niektóre osoby mówią, że powinno się to udowodnić na dwa przypadki, czyli:
1. \(\displaystyle{ f(x)}\) i parametr \(\displaystyle{ y}\)
2. \(\displaystyle{ f(y)}\) i parametr \(\displaystyle{ x}\).

Robiłem to zawsze tak: \(\displaystyle{ f(x) > 0 \Leftrightarrow (a > 0 \wedge \Delta < 0) \underset{x \in \mathbb{R}}{\forall}}\) i wychodzi wtedy, że \(\displaystyle{ \Delta < 0 \underset{y \in \mathbb{R}}{\forall}}\), więc wydaje mi sie, że jeden przypadek wystarczy do udowodnienia i nie trzeba na dwa tego robić. Poprawi mnie ktoś, jeżeli się myle?

salvia_palth pisze: ↑9 maja 2021, o 16:14

Zawsze bawiłem się tymi dowodami udowadniając je funkcją z parametrem, lecz zauważyłem, że niektóre osoby mówią, że powinno się to udowodnić na dwa przypadki, czyli:
1. \(\displaystyle{ f(x)}\) i parametr \(\displaystyle{ y}\)
2. \(\displaystyle{ f(y)}\) i parametr \(\displaystyle{ x}\).

Ty masz rację (z dokładnością do trochę słabego zapisu), a oni nie.

Jeśli \(\displaystyle{ x\in D_{1}, \ y\in D_{2}, \ D_{1}, D_{2}\subseteq \RR}\) i wykażemy, że jakiego byśmy nie ustalili \(\displaystyle{ y\in D_{2}}\), zajdzie \(\displaystyle{ f(x,y)\ge m}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in D_{1}}\), to znaczy, że
\(\displaystyle{ (\forall y\in D_{2})((\forall x\in D_{1})f(x,y)\ge m)}\),
więc wcale nie trzeba rozważać dwóch przypadków.