Jak rozwiązać takie równanie?

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
andu1972
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 23 wrz 2012, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gliwice
Podziękował: 2 razy

Jak rozwiązać takie równanie?

Post autor: andu1972 »

Dzień dobry,

jak rozwiązać następujące równanie:

\(\displaystyle{ x^2+\frac{3}{4x}-\frac{7}{4} = 0}\)

lub jak ktoś woli wersję przed przekształceniem z wielomianu:

\(\displaystyle{ x^3-\frac{7}{4}x + \frac{3}{4} = 0}\) ?

pozdrawiam i dziękuję za pomoc
Andu
Ostatnio zmieniony 17 kwie 2021, o 00:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Jak rozwiązać takie równanie?

Post autor: Premislav »

Łatwo widać, e jednym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=1}\) (żeby tego nie brać zupełnie z powietrza, można sobie pomnożyć równanie stronami przez \(\displaystyle{ 4}\) i posprawdzać potencjalne pierwiastki na podstawie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych – ale ja tego nie robiłem). Zatem zgodnie z twierdzeniem Bezouta możemy zapisać
\(\displaystyle{ x^{3}-\frac{7}{4}x+\frac{3}{4}=(x-1)\cdot P(x)}\)
gdzie wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) ma drugi stopień. Porównując współczynniki, łatwo wyliczyć współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\), a jako że ma on stopień \(\displaystyle{ 2}\), to daje się rozwalić deltą.
andu1972
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 23 wrz 2012, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gliwice
Podziękował: 2 razy

Re: Jak rozwiązać takie równanie?

Post autor: andu1972 »

Dzięki za pomoc. Trochę się zdziwiłem jak zobaczyłem sposób rozwiązywania, bo to podobno miał być przykład z matury podstawowej a wychodzi, że chyba z rozszerzonej. Ale dzięki otrzymanej podpowiedzi policzyłem z twierdzenia Bezouta i pobawiłem się twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych licząc na piechotkę :). Wielkie dzięki jutro ja będę tego uczyć :)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Jak rozwiązać takie równanie?

Post autor: Jan Kraszewski »

Jak masz równanie \(\displaystyle{ 4x^3-7x+3=0}\), to nie trzeba tw. o pierwiastkach wielomianu o wsp. całkowitych, żeby zgadnąć rozwiązanie \(\displaystyle{ x=1}\) (bo, po pierwsze, narzuca się, a po drugie, jak to jest matura podstawowa, to jeden pierwiastek powinien być prosty...). A reszta to tylko ciut trudniejsze zadanie na grupowanie:

\(\displaystyle{ 4x^3-7x+3=4x^3-4x^2+4x^2-4x-3x+3=4x^2(x-1)+4x(x-1)-3(x-1)=(x-1)(4x^2+4x-3)=}\)

i dalej już normalnie

\(\displaystyle{ =(x-1)(2x-1)(2x+3).}\)

JK
andu1972
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 23 wrz 2012, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gliwice
Podziękował: 2 razy

Re: Jak rozwiązać takie równanie?

Post autor: andu1972 »

Ok, dzięki również. Ten sposób też jest fajny i szybki. Mój Syn z pewnością ten wybierze :)
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Jak rozwiązać takie równanie?

Post autor: piasek101 »

Dla formalności - tego nie ma na podstawowej (po gimnazjum).
ODPOWIEDZ