Pierwiastki mniejsze od dwóch
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Pierwiastki mniejsze od dwóch
Dzień dobry
Proszę o pomoc z zadaniem.
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) dwa różne pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^{2} -(m-1)x+m=0}\) są mniejsze od \(\displaystyle{ 2}\)?
Pierwsze, co mi przyszło do głowy to \(\displaystyle{ x_{1}<2}\) i \(\displaystyle{ x_{2}<2}\) i po prostu ze wzoru na pierwiastek, oczywiście po policzeniu delty, ale wtedy wychodzi mi, że takich pierwiastków nie ma. Wystarczyłoby postawić warunek, że suma pierwiastków jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 4}\)?
Proszę o pomoc z zadaniem.
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) dwa różne pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^{2} -(m-1)x+m=0}\) są mniejsze od \(\displaystyle{ 2}\)?
Pierwsze, co mi przyszło do głowy to \(\displaystyle{ x_{1}<2}\) i \(\displaystyle{ x_{2}<2}\) i po prostu ze wzoru na pierwiastek, oczywiście po policzeniu delty, ale wtedy wychodzi mi, że takich pierwiastków nie ma. Wystarczyłoby postawić warunek, że suma pierwiastków jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 4}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34240
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Pierwiastki mniejsze od dwóch
Wystarczy \(\displaystyle{ x_2<2}\) (potrafimy wskazać, który pierwiastek jest większy).Niepokonana pisze: ↑16 mar 2021, o 13:34Pierwsze, co mi przyszło do głowy to \(\displaystyle{ x_{1}<2}\) i \(\displaystyle{ x_{2}<2}\) i po prostu ze wzoru na pierwiastek, oczywiście po policzeniu delty,
Dopóki nie pokażesz rachunków, to nie jesteśmy w stanie odnieść się do tego.
No skąd, przecież np. \(\displaystyle{ -3+5<4...}\)Niepokonana pisze: ↑16 mar 2021, o 13:34Wystarczyłoby postawić warunek, że suma pierwiastków jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 4}\)?
JK
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Pierwiastki mniejsze od dwóch
No tak, bo ten, co ma we wzorze plus, będzie większy, bo współczynnik przy drugiej potędze jest dodatni.
\(\displaystyle{ \Delta=m^{2}-6m+1>0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \Delta_{m}}=4 \sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{ m_{1}=3+2 \sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ m_{2}=3-2 \sqrt{2}}\)
więc dziedziną naszych \(\displaystyle{ m}\) jest \(\displaystyle{ m>3+2 \sqrt{2}}\) lub \(\displaystyle{ m<3-2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{m-1+ \sqrt{m^{2}-6m+1} }{2} <2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{m^{2}-6m+1} <5-m}\), co ma sens tylko dla \(\displaystyle{ m<5
}\)
Z jakiegoś powodu uznałam, że to jest sprzeczne, ale teraz nie jestem pewna.
\(\displaystyle{ \Delta=m^{2}-6m+1>0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \Delta_{m}}=4 \sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{ m_{1}=3+2 \sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ m_{2}=3-2 \sqrt{2}}\)
więc dziedziną naszych \(\displaystyle{ m}\) jest \(\displaystyle{ m>3+2 \sqrt{2}}\) lub \(\displaystyle{ m<3-2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{m-1+ \sqrt{m^{2}-6m+1} }{2} <2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{m^{2}-6m+1} <5-m}\), co ma sens tylko dla \(\displaystyle{ m<5
}\)
Z jakiegoś powodu uznałam, że to jest sprzeczne, ale teraz nie jestem pewna.
-
- Administrator
- Posty: 34240
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Pierwiastki mniejsze od dwóch
Ale z czym miałoby być to sprzeczne?Niepokonana pisze: ↑16 mar 2021, o 14:30\(\displaystyle{ \sqrt{m^{2}-6m+1} <5-m}\), co ma sens tylko dla \(\displaystyle{ m<5
}\)
Z jakiegoś powodu uznałam, że to jest sprzeczne, ale teraz nie jestem pewna.
Po prostu rozwiąż tę nierówność (rozwiązania istotnie mogą istnieć tylko dla \(\displaystyle{ m\le 5}\), załóż więc to i podnieś obie strony do kwadratu - już można, bo są nieujemne), a potem połącz to ze zbiorem, który wyszedł Ci z delty dodatniej.
JK
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Pierwiastki mniejsze od dwóch
Dla
\(\displaystyle{ \Delta(m)>0}\)
z wzorów Viete'a byłoby to tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1<2\\x_2<2\end{cases}\iff \begin{cases} x_1-2<0\\x_2-2<0\end{cases}\iff\begin{cases} (x_1-2)(x_2-2)>0\\(x_1-2)+(x_2-2)<0\end{cases}}\)
a z parabol sprzyjających, dla \(\displaystyle{ f_m(x)=x^{2} -(m-1)x+m}\), byłoby
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_W<2\\f_m(2)>0 \end{cases} }\)
Pozdrawiam
[edited] pomysł z nierównościami/równaniami potęgowymi jest wg mnie koszmarny
\(\displaystyle{ \Delta(m)>0}\)
z wzorów Viete'a byłoby to tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1<2\\x_2<2\end{cases}\iff \begin{cases} x_1-2<0\\x_2-2<0\end{cases}\iff\begin{cases} (x_1-2)(x_2-2)>0\\(x_1-2)+(x_2-2)<0\end{cases}}\)
a z parabol sprzyjających, dla \(\displaystyle{ f_m(x)=x^{2} -(m-1)x+m}\), byłoby
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_W<2\\f_m(2)>0 \end{cases} }\)
Pozdrawiam
[edited] pomysł z nierównościami/równaniami potęgowymi jest wg mnie koszmarny
-
- Administrator
- Posty: 34240
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Pierwiastki mniejsze od dwóch
Ten zaproponowany przez Niepokonaną? Dlaczego?
Przecież po podniesieniu stronami do kwadratu tej nierówności dostaniesz nierówność liniową i rozwiązanie masz od razu. Twoje wzory Viete'a może wyglądają sprytnie, ale rachunków nie jest mniej.
JK
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Pierwiastki mniejsze od dwóch
Cóż, dzięki za pomoc, zrobiłam wątek niepotrzebnie.
Dodano po 35 sekundach:
Co to są parabole sprzyjające?
Dodano po 35 sekundach:
Co to są parabole sprzyjające?
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Pierwiastki mniejsze od dwóch
Można troche prościeJ. Muszą być spełnione warunki:
1) Wyróżnik musi być dodatni
2) wierzchołek paraboli musi leżeć na lewo od dwójki
3) wartość wielomianu w `x=2` musi być dodatnia
1) Wyróżnik musi być dodatni
2) wierzchołek paraboli musi leżeć na lewo od dwójki
3) wartość wielomianu w `x=2` musi być dodatnia
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Pierwiastki mniejsze od dwóch
Jan Kraszewski pisze: ↑16 mar 2021, o 17:29 Twoje wzory Viete'a może wyglądają sprytnie, ale rachunków nie jest mniej.
To układ dwóch nierówności liniowych...
Nie polecałem wyznaczanie w dyskusji miejsc zerowych trójmianu, chyba, że wyróżnik był pełnym kwadratem!
Ale to moje zdanie.
Pozdrawiam