Wykazać, że zachodzi nierówność

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Wykazać, że zachodzi nierówność

Post autor: 41421356 »

Funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=x^2+bx+c}\) nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że \(\displaystyle{ 1+c>b}\).

Moje pytanie brzmi, czy można po prostu policzyć wartość tej funkcji w minus jedynce i następnie założyć, że ta wartość będzie dodatnia? Stąd już błyskawicznie mamy tezę. Moje wątpliwości z tym rozwiązaniem związane są z tym, że wykażeęto tylko dla jednego argumentu przecież.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Wykazać, że zachodzi nierówność

Post autor: Janusz Tracz »

41421356 pisze: 4 mar 2021, o 19:03 Moje pytanie brzmi, czy można po prostu policzyć wartość tej funkcji w minus jedynce i następnie założyć, że ta wartość będzie dodatnia?
Tak to poprawne rozwiązanie. Ale formalnie nic tu nie zakładasz. To, że \(\displaystyle{ f(-1)>0}\) wynika z informacji w zadaniu. Po pierwsze brak rzeczywistych rozwiązań mówi, że parabola jest całkowicie nad albo całkowicie pod osią. Ale przy \(\displaystyle{ x^2}\) jest liczba dodatnia więc to jest parabola z ramionami w górę. Więc parabola jest całkowicie nad osią \(\displaystyle{ x}\). Więc \(\displaystyle{ f(x)>0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\). Potem nie ma problemu aby wstawić konkretną wartość \(\displaystyle{ x=-1}\). Bo jeśli coś działa zawsze to działa też dla konkretnego przypadku.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wykazać, że zachodzi nierówność

Post autor: 41421356 »

Ok, ale jak policzę wartość tej funkcji dla plus jedynki i znowu przyjmę, że będzie to wartość większa od zera to uzyskam inną tezę:

\(\displaystyle{ 1+c>-b}\),

która z kolei przeczy tezie z zadania.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Wykazać, że zachodzi nierówność

Post autor: Janusz Tracz »

41421356 pisze: 4 mar 2021, o 20:06 która z kolei przeczy tezie z zadania.
W jaki sposób \(\displaystyle{ 1+c>-b}\) przeczy \(\displaystyle{ 1+c>b}\)?
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wykazać, że zachodzi nierówność

Post autor: 41421356 »

Łatwo wskazać przykład par liczb \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\), które spełniają jedną nierówność, a nie spełniają drugiej.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykazać, że zachodzi nierówność

Post autor: Jan Kraszewski »

41421356 pisze: 5 mar 2021, o 00:40 Łatwo wskazać przykład par liczb \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\), które spełniają jedną nierówność, a nie spełniają drugiej.
No i co z tego? To oznacza tylko, że żadna z tych nierówności nie pociąga drugiej, a nie, że są ze sobą sprzeczne.

JK
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wykazać, że zachodzi nierówność

Post autor: 41421356 »

Chyba już rozumiem. Po prostu z założeń zadania wynika wiele różnych implikacji, a autorzy zadania po prostu pytają o uzasadnienie jednej z nich.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykazać, że zachodzi nierówność

Post autor: Jan Kraszewski »

Tak, ale nie "z założeń zadania wynika wiele różnych implikacji", tylko "z założeń zadania wynika wiele różnych wniosków".

JK
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wykazać, że zachodzi nierówność

Post autor: 41421356 »

Dziękuję za pomoc, już wszystko jasne.
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1707
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 412 razy

Re: Wykazać, że zachodzi nierówność

Post autor: pesel »

Warto dodać, że to zadanie (nr 34) pochodzi z wczorajszej próbnej matury (poziom podstawowy).
ODPOWIEDZ