Równanie z parametrem

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Równanie z parametrem

Post autor: 41421356 »

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=x^2-2x+m}\) ma dwa różne miejsca zerowe \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) takie, że \(\displaystyle{ 7x_2-4x_1=47}\)?

Czy w tego typu zadaniach istotnie konieczny jest warunek z deltą (\(\displaystyle{ \Delta> 0}\))?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równanie z parametrem

Post autor: janusz47 »

warunek 1
\(\displaystyle{ \Delta =... >0, }\)

warunek 2
\(\displaystyle{ x_{1} = ...,\ \ x_{2} = ...., \ \ 7x_{2} - 4x_{1} = 47 }\)

Z warunku 1 i warunku 2 \(\displaystyle{ m = ?}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie z parametrem

Post autor: a4karo »

W liceum sformułowanie "ma dwa różne miejsca zerowe" rozumie się jak "ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste", więc warunek z deltą jest konieczny. Jak na studiach dotrzesz do funkcji zespolonych, to już nie będzie to tak oczywiste.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Równanie z parametrem

Post autor: 41421356 »

Co do zadania, to korzystając ze wzorów Vieté'a dla sumy pierwiastków oraz z warunku z treści otrzymuje konkretne dwa różne pierwiastki, stąd moje pytanie o deltę.

Jeśli chodzi natomiast o zadania z liczbami zespolonymi, to w liceum jak najbardziej wykorzystuję się na przykład równania, gdzie wychodzą pierwiastki zespolone (których oczywiście w liceum nie liczymy) i przez to w treści nie ma żadnej wzmianki o liczbach rzeczywistych.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie z parametrem

Post autor: a4karo »

A możesz pokazać jak to rozwiązujesz?
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1707
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 412 razy

Re: Równanie z parametrem

Post autor: pesel »

41421356 pisze: 12 lis 2020, o 18:06 Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=x^2-2x+m}\) ma dwa różne miejsca zerowe....
Czy funkcja może mieć dwa takie same miejsca zerowe? Po co jest to "różne"?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie z parametrem

Post autor: a4karo »

To kwestia nazewnictwa. Dla podkreślenia, że nie chodzi o podwójny pierwiastek, który czasami liczą za dwa
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Równanie z parametrem

Post autor: 41421356 »

a4karo pisze: 13 lis 2020, o 19:28 A możesz pokazać jak to rozwiązujesz?
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7x_1-4x_2=47\\4x_1+4x_2=8\end{cases} \\
\begin{cases} x_1=5\\x_2=-3\end{cases}\\
-15=x_1x_2=m}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie z parametrem

Post autor: a4karo »

Racja. Warunku `\Delta>0` nie ma potrzeby sprawdzać
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Równanie z parametrem

Post autor: 41421356 »

Dziękuję bardzo za pomoc w rozwianiu mych wątpliwości.
ODPOWIEDZ